Wikipedia

Paradoks zbioru wszystkich zbiorów: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Addbot (dyskusja | edycje)
748 218 edycji
m Bot: Przenoszę 14 linków interwiki do Wikidata, znajdziesz je teraz w zasobie d:q379078
Ujednoznacznienie
Linia 1:
'''Paradoks zbioru wszystkich zbiorów''' – [[paradoks]] [[teoria mnogości|teorii mnogości]] odkryty w [[1899]] przez [[Georg Cantor|Cantora]]:
 
Na mocyWedle [[twierdzenie Cantora|twierdzenia Cantora]] można udowodnić, że [[zbiór potęgowy]] dowolnego [[zbiór|zbioru]] X (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X) manie może się zawierać w X, gdyż nie istnieje nawet [[moc zbioru|mocsurjekcja]] większą<math>X od mocy\to 2^X</math>, która jako taka jest warunkiem koniecznym by jeden zbiór był zawarty w drugim. ▼
Przypuśćmy, że Z to [[zbiór]] wszystkich zbiorów, czyli Z={X:1}.
 
Oznacza to , iż ma miejsce paradoks nie istnienia zbioru wszystkich zbiorów, choćby przez wzgląd na niemożność umieszczenia w zbiorze jego zbioru potęgowego.(acz można umieścić podzbiór, tak jak w zbiorze {1,2,{1,2}})
▲Na mocy [[twierdzenie Cantora|twierdzenia Cantora]] można udowodnić, że [[zbiór potęgowy]] dowolnego zbioru X (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X) ma [[moc zbioru|moc]] większą od mocy X.
 
ParadoksNiemożność ten jest po prostu dowodem, mówiącym, że nie ma zbioruujęcia wszystkich zbiorów. Byłow tozbiór jednak stwierdzeniebyła o tyle paradoksalneparadoksalna, iż twórcy teorii mnogości nie widzieli żadnych podstaw, aby jej uniknąć jego istnienia. W końcu okazało się, że problem leżał w nieścisłym określeniu pojęcia zbioru. Skuteczna aksjomatyka teorii mnogości pozwoliła zbudować spójną teorię wolną od paradoksów.▼
A zatem zbiór potęgowy z Z ma moc wiekszą od mocy Z, co jest niemożliwe, gdyż z definicji Z jego zbiór potęgowy także się w nim zawiera.
 
▲Paradoks ten jest po prostu dowodem, mówiącym, że nie ma zbioru wszystkich zbiorów. Było to jednak stwierdzenie o tyle paradoksalne, iż twórcy teorii mnogości nie widzieli żadnych podstaw, aby uniknąć jego istnienia. W końcu okazało się, że problem leżał w nieścisłym określeniu pojęcia zbioru. Skuteczna aksjomatyka teorii mnogości pozwoliła zbudować spójną teorię wolną od paradoksów.
 
== Zobacz też ==
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_zbioru_wszystkich_zbiorów”