Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa: Różnice pomiędzy wersjami

m
drobne redakcyjne
(Poprawiona definicja masy grawitacyjnej i właściwej. Dodany opis i definicje różnych energii wiązania)
m (drobne redakcyjne)
 
=== Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej ===
Całkowita '''masa grawitacyjna''' ''M'' gwiazdy (mierzona przez odległego obserwatora znajdującego się np. na orbicie wokół gwiazdy) i, występująca w metryce dla odległości większych od promienia gwiazdy ''R'', wyraża się następującym wzorem:
::::: <math>M=M_g(R)=4\pi\int_0^{R} \rho(r)r^2 dr\,.</math>
Pamiętając o tym, że element objętości ''dV'' pomiędzy sferami o promieniach ''r'' oraz ''r&nbsp;+&nbsp;dr'' jest równy
::::: <math>dV = \frac{4\pi r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,,</math>
można definiować &nbsp;dwie inne charakterystyczne masy wynikające z równania TOV. '''Masą &nbsp;właściwą''' ''M<sub>p</sub>'' [[gwiazda neutronowa|gwiazdy]] nazywa się całkę gęstości masy-energii po objętości, biorąc pod uwagę lokalne zakrzywienie przestrzeni przez masę &nbsp;''M(r)'',
::::: <math>M_p=M_p(R)=\int_0^{R} \rho dV = 4\pi\int_0^{R} \frac{\rho(r)r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,.</math>
Jako, że
Liczba barionów w objętości gwiazdy jest równa
::::: <math>A_b=4\pi\int_0^{R} \frac{ n_b(r) r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \,,</math>
gdzie ''n<sub>b</sub>(r)'' jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo ''[[Femtometr|fm<sup>3</sup>]]''). ''A<sub>b</sub>'' dla [[gwiazda neutronowa|gwiazdy neutronowej]] o typowej masie grawitacyjnej 1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest rzędu 10<sup>57</sup> cząstek.
[[Plik:TOV solution homogeneous star mass radius diagram.png|thumb|450px|Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 10<sup>15</sup> g/cm<sup>3</sup> (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).]]
''Masa barionowa'' (zwana również [[masa spoczynkowa|masą spoczynkową]]) jest równa liczbie barionowej ''A<sub>b</sub>'' gwiazdy mnożonejpomnożonej przez masę [[barion]]u
''m<sub>b</sub>≈[[Nukleony|m<sub>n</sub>]]'':
::::: <math>M_b=m_bA_b\,.</math>
Zdefiniowane wyżej masy używa się &nbsp;do obliczenia [[Energia wiązania|energii wiązania]]. Różnica
::::: <math>E_G=\left(M_g-M_p\right)c^2\,.</math>
jest ''energią grawitacyjną'' gwiazdy (energią zmagazynowaną &nbsp;w gwieździe, którą można odzyskać przenosząc małe elementy ''dm'' do nieskończoności). Grawitacyjna [[energia wiązania]] to
::::: <math>BE_G=-E_B=\left(M_p-M_g\right)c^2\,.</math>
''Energia wewnętrzna'' gwiazdy (energia pochodząca z równania stanu, bez uwzględnienia gęstości spoczynkowej), to
::::: <math>E_I=\left(M_p-M_b\right)c^2\,,</math>
z podobnie jak poprzednio zdefiniowaną &nbsp;wewnętrzną &nbsp;[[Energia wiązania|energią wiązania]]
::::: <math>BE_I=-E_I=\left(M_b-M_p\right)c^2\,.</math>
'''Całkowita energia wiązania''' gwiazdy to zatem
 
=== Rozwiązanie dla przypadku materii nieściśliwej ===
W ogólnym przypadku nie istnieje rozwiązanie analityczne, tj. zależność gęstości, ciśnienia od odległości od centrum gwiazdy itd. należymożna otrzymać tylko numerycznie. Równanie TOV można rozwiązać analitycznie dla równania stanu ρ&nbsp;=&nbsp;''const.'' Mamy wtedy:
::::: <math>M(r)=\frac{4}{3}\pi\rho r^3.</math>
Korzystając z tego związku, równanie równowagi hydrostatycznej można analitycznie scałkować. Otrzymujemy:
::::: <math>\frac{p(r)}{\rho} = \frac{\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}-\sqrt{1-2GM/Rc^2}}{3\sqrt{1-2GM/Rc^2}-\sqrt{1-2GMr^2/R^3c^2}}\, </math>
Zwiększanie masy gwiazdy prowadzi do wzrostu ciśnienia centralnego, ''p<sub>c</sub> = p(r=0)''. Warunek ''p<sub>c</sub> ='' ∞ stanowi ograniczenie na stosunek promienia Schwarzschilda do promienia gwiazdy: