Wycofano ostatnią zmianę treści (wprowadzoną przez 89.67.90.250) i przywrócono wersję 43162464 autorstwa Mariusz Swornóg; nazwa "komutatywny" jest używana w matematyce
Przegadane. Cała sekcja "Definicja" napisana w koszmarnej polszczyźnie z tasiemcowymi zdaniami, miejscami na poziomie gimnazjalnym jest kompletnie zbędna, bo powtarza rzeczy opisane we wstępie i pod linkiem pierścień (matematyka).
'''Pierścień przemienny''' (lub '''komutatywny''') – [[pierścień (matematyka)|pierścień]] <math>R\;</math>, w którym działanie mnożeniamnożenie jest [[przemienność|przemienne]]., Badaniemczyli pierścienidla przemiennychdowolnych zajmujeelementów się<math>a,b\in [[algebraR\;</math> przemienna]].zachodzi Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia)<refmath>{{cytuja książkę\cdot | autorb =AtiyahM.b F.\cdot | autor2 = Macdonald I. G. | autor link = | tytuł =Introduction to commutative algebra | wydawca =Addison-Wesley | miejsce = | rok =1969 | strony = | isbn =}}a,</refmath>.
Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się [[algebra przemienna]]. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia)<ref>{{cytuj książkę | autor =Atiyah M. F. | autor2 = Macdonald I. G. | autor link = | tytuł =Introduction to commutative algebra | wydawca =Addison-Wesley | miejsce = | rok =1969 | strony = | isbn =}}</ref>.
== Definicja ==
: ''Szczegóły definicji pierścieni można znaleźć w artykule o [[pierścień (matematyka)#Definicja|pierścieniach]].''
'''Pierścień''' to [[zbiór]] <math>R\;</math> wyposażony w dwa [[działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowe]], tzn. działania, które dla dowolnych dwóch elementów dają trzeci, nazywane ''dodawaniem'' i ''mnożeniem'', które zwykle oznaczane są plusem oraz kropką, np. <math>a + b\;</math> oraz <math>a \cdot b.</math> Aby dawały pierścień, działania te muszą spełniać pewne własności: pierścień musi być [[grupa przemienna|grupą abelową]] względem dodawania i [[półgrupa|półgrupą]] (albo [[monoid]]em w przypadku [[pierścień z jedynką|pierścienia z jedynką]]) względem mnożenia tak, by mnożenie było [[rozdzielność|rozdzielne]] względem dodawania, tzn. <math>a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c).</math> Elementy neutralne dodawania i mnożenia są oznaczane odpowiednio <math>0</math> oraz <math>1</math> (ten ostatni, o ile istnieje, czyli w przypadku pierścienia z jedynką).
Jeśli mnożenie jest przemienne, tzn.
: <math>a \cdot b = b \cdot a,</math>
to pierścień <math>R\;</math> nazywa się '''przemiennym'''.
