Dziedzina całkowitości: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Własności: brakło istotnego założenia a≠0, dopracowanie dowodu (symbolika i argumentacja) |
→Własności: robię wcięcie, aby było widać, że dowód dotyczy 3. własności |
||
Linia 10:
*Każde [[ciało (matematyka)|ciało]] jest dziedziną całkowitości.
*Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.</br>'''Dowód''': Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu <math>a\neq 0</math> jego iloczyny ze wszystkimi <math>n</math> elementami pierścienia: <math>a a_1, a a_2, \ldots, a a_n</math>. Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. <math>aa_i=aa_j</math> dla pewnych <math>i\neq j</math>. Ale z własności skracania wynika <math>a_i=a_j</math> wbrew temu, że <math>a_i,\ a_j</math> są różnymi elementami.▼
▲'''Dowód''': Wystarczy wykazać, że dowolny niezerowy element jest odwracalny. Rozważmy dla danego elementu <math>a\neq 0</math> jego iloczyny ze wszystkimi <math>n</math> elementami pierścienia: <math>a a_1, a a_2, \ldots, a a_n</math>. Gdyby wśród nich nie było jedynki, to pewien element występowałby dwa razy (co najmniej) dla iloczynów z różnymi elementami, np. <math>aa_i=aa_j</math> dla pewnych <math>i\neq j</math>. Ale z własności skracania wynika <math>a_i=a_j</math> wbrew temu, że <math>a_i,\ a_j</math> są różnymi elementami.
== Zobacz też ==
| |||