Wyrażenie algebraiczne: Różnice pomiędzy wersjami

'''Wyrażenie algebraiczne''' – [[Syntaktyka (logika)|syntaktycznie]] [[wyrażenie matematyczne]], złożone z jednego lub większej [[LiczbyLiczba|liczby]] symboli algebraicznych (tzn. [[stała (matematyka)|stałych]] lub [[zmienna (matematyka)|zmiennych]]), połączonych znakami [[działanie algebraiczne|działań]] (+, -−, ·, : , [[Potęgowanie|potęgi]] i [[Pierwiastkowanie|pierwiastka]]) i ewentualnie nawiasów, zgodnie z regułami notacji matematycznej<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Bronsztejn |imię=I.N. |nazwiskonazwisko2=BronsztejnSiemiendiajew |imię2=K.A.|nazwisko2=Siemiendiajew |tytuł=Matematyka – poradnik encyklopedyczny |wydanie=6 |wydawca=PWN |miejsce=Warszawa |rok=1976 |strony=155}}</ref>.

[[Semantyka (logika)|Semantycznie]] wyrażenie algebraiczne, jako [[wyrażenie dobrze zbudowane]] w [[język (logika)|języku]] [[algebra|algebry]], jest zapisem pewnego [[algorytm]]u złożonego z elementarnych działań [[dodawanie|dodawania]], [[odejmowanie|odejmowania]], [[mnożenie|mnożenia]], [[dzielenie|dzielenia]] i [[Potęgowanie|potęgowania]]<ref name="scitech">{{cytuj książkę|url=http://www.answers.com/topic/algebraic-expression |tytuł=Dictionary of Scientific and Technical Terms: algebraic expression |url=http://www.answers.com/topic/algebraic-expression |wydawca=McGraw-Hill |wydanie=6}}</ref> (pierwiastkowanie sprowadza się do potęgowania).

Najprostsze wyrażenia algebraiczne to pojedyncze stałe (np. 5) oraz zmienne (np. ''x''), bardziej skomplikowane to m.in. [[jednomian]]y (np. <math>3x^2 y^3\;</math>), [[dwumian]]y (np. <math>3x^2y+xy^3\;</math>), [[wielomian]]y (np. <math>2a^3+5a^2-ab+8\;</math>), zapisy typu <math>\sqrt[x]{y}</math> czy

Nie są natomiast wyrażeniami algebraicznymi zapisy złożone z symboli algebraicznych, ale pozbawione sensu, np. <math>^a+\cdot(</math>, wyrażenia w których uczestniczą [[symbol funkcyjny|symbole funkcji]], np. <math>\sin x\;</math> albo [[symbol relacyjny|relacji]]<ref name="prealgebra" />, np. <math>a=b\;</math>. Na ogół zakłada się, że wyrażenia algebraiczne mają skończoną długość<ref name="scitech" />, nie jest więc wyrażeniem algebraicznym np. [[ułamek łańcuchowy]]:

Niektórzy autorzy wymagają, aby stałe w wyrażeniu algebraicznym były [[liczby algebraiczne|liczbami algebraicznymi]]<ref>{{cytuj książkę |nazwisko=Weisstein |imię=Eric W. |tytuł=CRC concise encyclopedia of mathematics |url=http://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA48&dq=%22algebraic+expression%22+relationship&lr= |strony=48|tytuł=CRC concise encyclopedia of mathematics|imię=Eric W.|nazwisko=Weisstein|wydanie=2 |wydawca=CRC Press |rok=2003 |isbn=1584883472, 9781584883470}}</ref>.

Jeśli w wyrażeniu algebraicznym nie występuje potęgowanie o niecałkowitym wykładniku (czyli także pierwiastkowanie stopnia innego niż <math>\tfrac{1}{k}, k\in\mathbb Z\setminus\{0\}</math>), to jest ono '''wyrażeniem wymiernym'''. W przeciwnym wypadku jest '''wyrażeniem niewymiernym'''<ref>{{cytuj książkę |tytuł=Słownik encyklopedyczny – matematyka |wydawca=Wydawnictwo Europa |strony=316 |isbn=83-85336-06-0 |rok=1998}}</ref>

W [[informatyka|informatyce]] stosowane jest zbliżone (nieco szersze) pojęcie [[wyrażenie arytmetyczne|wyrażenia arytmetycznego]]<ref>{{cytuj książkę |tytuł=Encyklopedia szkolna – matematyka |wydawca=WSiP |strony=323 |miejsce=Warszawa |rok=1990}}</ref>. Inni zaś uważają, że wyrażenie matematyczne nie zawierające zmiennych to wyrażenie arytmetyczne, a zawierające zmienne to wyrażenie algebraiczne<ref name="prealgebra">{{cytuj stronę |url=http://www.waybuilder.net/sweethaven/Math/pre-algebra/PreAlg01/default.asp?iNum=0801 |tytuł=Pre-algebra Chapter 8 Expressions and Equations |autor=David L. Heiserman |data dostępu=17 czerwca 2009}}</ref>.