Warunek Lipschitza: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne merytoryczne, drobne redakcyjne |
→Podstawowe własności: drobne redakcyjne |
||
Linia 21:
::Stąd,
:::<math>|f^\prime(x_0)|\leqslant L</math>.
::Załóżmy, że | ''f''’(''x'') | ≤ ''L'' dla wszelkich ''x'' ∈ (''a'', ''b''). Niech ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ∈ (''a'', ''b''). Bez straty ogólności, można przyjąć, że ''x''<sub>1</sub> < ''x''<sub>2</sub>. Z [[
:::<math>f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1).</math>.
::Ponieważ | ''f''’(''c'') | ≤ ''L'',
Linia 27:
::co pokazuje, że ''f'' spełnia warunek Lipschitza ze stałą ''L''.
* Funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest [[funkcja jednostajnie ciągła|funkcją jednostajnie ciągłą]].
:: ''Dowód''. Niech ''f'': ℝ → ℝ będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą ''L''. Niech ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ∈ ℝ oraz niech dany będzie ''ε'' > 0. Gdy ''δ'' = ''ε'' / ''L'', to |''f''(''x''<sub>1</sub>) - ''f''(''x''<sub>2</sub>)| ≤ ''L'' |''x''<sub>1</sub> - ''x''<sub>2</sub>| ≤ ''L'' ''ε'' / ''L'' = ''ε'' o ile tylko |''x''<sub>1</sub> - ''x''<sub>2</sub>| ≤ ''δ''. Rozumowanie to przenosi się ''[[mutatis mutandis]]'' na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.
* Niech (''Ω'', ''μ'') będzie [[przestrzeń z miarą|przestrzenią z miarą]] oraz niech (''f''<sub>''n''</sub>)<sub> ''n'' ∈ ℕ</sub> będzie ciągiem [[funkcja prawie wszędzie skończona|funkcji rzeczywistych]] na ''Ω''. Jeżeli ciąg ten jest [[zbieżność według miary|zbieżny według miary]] do pewnej funkcji ''f'' oraz funkcja ''g'': ℝ → ℝ spełnia warunek Lipschitza, to ciąg (''g'' ∘ ''f''<sub>''n''</sub>)<sub> ''n'' ∈ ℕ</sub> jest zbieżny według miary do ''g'' ∘ ''f''.
== Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza ==
| |||