Warunek Lipschitza: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m →Podstawowe własności: drobne techniczne; primy "zlewają się" z literą f |
→Podstawowe własności: drobne redakcyjne |
||
Linia 16:
:: ''Dowód''. Załóżmy, że ''f'' spełnia warunek Lipschitza ze stałą ''L''. Niech ''x''<sub>0</sub> ∈ (''a'', ''b''). Wówczas dla ''x'' ∈ (''a'', ''b''), ''x'' ≠ ''x''<sub>0</sub>:
:::<math>\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right| = \frac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|} \leqslant L.</math>
::
▲::Załóżmy, że | ''f'' ’(''x'') | ≤ ''L'' dla wszelkich ''x'' ∈ (''a'', ''b''). Niech ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ∈ (''a'', ''b''). Bez straty ogólności, można przyjąć, że ''x''<sub>1</sub> < ''x''<sub>2</sub>. Z [[Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)|twierdzenia o wartości średniej]] wynika, że istnieje takie ''c'' ∈ (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>), że
:::<math>f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1).</math>.
::Ponieważ | ''f'' ’(''c'') | ≤ ''L'',
| |||