[[Aksjomat wyboru]] jest równoważny istnieniu bazy dowolnej przestrzeni liniowej. Ciało [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] jest [[rozszerzenie ciała|rozszerzeniem ciała]] [[liczby wymierne|liczb wymiernych]]; w szczególności <math>\scriptstyle \mathbb R</math> jest przestrzenią liniową nad <math>\scriptstyle \mathbb Q</math>, której baza <math>\scriptstyle B</math> (nazywana czasem [[baza Hamela|bazą Hamela]]) jest [[moc zbioru|mocy]] [[continuum (teoria mnogości)|continuum]]. Korzystając z twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie można udowodnić istnienie [[funkcja ciągła|nieciągłego]] rozwiązania [[równanie Cauchy'egoCauchy’ego|równania Cauchy'egoCauchy’ego]], tj. istnienie takiej funkcji <math>\scriptstyle f,</math> która spełniałaby równość <math>\scriptstyle f(x + y) = f(x) + f(y)</math> dla wszystkich liczb rzeczywistych <math>\scriptstyle x, y.</math> Prosta rzeczywista jest [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowa]] (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych), skąd każda funkcja ciągła na <math>\scriptstyle \mathbb R</math> jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje wartości na argumentach wymiernych. Oznacza to, że istnieje <math>\scriptstyle |\mathbb R|^{|\mathbb Q|} = \mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak c</math> funkcji ciągłych na <math>\scriptstyle \mathbb R,</math> przy czym symbole <math>\scriptstyle \aleph_0</math> oraz <math>\scriptstyle \mathfrak c</math> oznaczają odpowiednio [[alef zero|pierwszą nieskończoną liczbę kardynalną]] oraz [[liczba kardynalna|liczbę kardynalną]] [[continuum (teoria mnogości)|continuum]]. Z drugiej strony istnieje <math>\scriptstyle |\mathbb R|^{|B|} = \mathfrak c^\mathfrak c</math> funkcji rzeczywistych, określonych na <math>\scriptstyle B.</math> Z [[twierdzenie Cantora|twierdzenia Cantora]] wynika, że <math>\scriptstyle \mathfrak c^\mathfrak c \geqslant 2^\mathfrak c > \mathfrak c</math> (słaba nierówność jest w istocie równością). Do przekształcenia liniowego (spełniającego równanie Cauchy'egoCauchy’ego z definicji) można przedłużyć dowolną funkcję <math>\scriptstyle f\colon B \to \mathbb R.</math> Ponieważ jest ich więcej niż wszystkich funkcji ciągłych, to istnieją nieciągłe rozwiązania równania Cauchy'egoCauchy’ego.
