Grupa cykliczna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
drobne redakcyjne |
||
Linia 4:
W szczególności dowolną grupę cykliczną <math>\scriptstyle G</math> można przedstawić jako
: <math>\langle a\rangle := \{a^n\in G\colon n\in \mathbb Z\},</math>
gdzie <math>\scriptstyle a</math> jest generatorem grupy <math>\scriptstyle G.</math> W szczególności może się zdarzyć, iż <math>\scriptstyle a^n</math> będzie dla pewnego <math>\scriptstyle n \in \mathbb Z</math> równe [[element neutralny|elementowi neutralnemu]] <math>\scriptstyle e;</math> w tym wypadku grupa zawiera skończenie wiele elementów, jeżeli taka sytuacja nie zachodzi, to grupa ma nieskończenie wiele (dokładnie: [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wiele]]) elementów.
Grupy cykliczne należą do najprostszych i najlepiej poznanych grup: [[grupa (matematyka)#Pojęcia|skończone i nieskończone]] grupy cykliczne [[izomorfizm|mają tę samą strukturę]] co (odpowiednio) grupy addytywne <math>\scriptstyle \mathbb Z_n</math> dla <math>\scriptstyle n \in \mathbb N</math> (zob. [[arytmetyka modularna]]) oraz <math>\scriptstyle \mathbb Z</math> (zob. [[liczby całkowite]]). W szczególności są one „tworzywem” niektórych rodzajów grup przemiennych, zob. klasyfikacje [[grupa przemienna#Skończone grupy przemienne|grup przemiennych o skończonej liczbie elementów]] oraz [[skończenie generowana grupa przemienna#Klasyfikacja|grup przemiennych o skończonej liczbie generatorów]].
| |||