Regula falsi: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 349 bajtów ,  6 lat temu
m
Wycofano edycje użytkownika SlotaWoj (dyskusja). Autor przywróconej wersji to WTM.
(poprawka)
m (Wycofano edycje użytkownika SlotaWoj (dyskusja). Autor przywróconej wersji to WTM.)
 
Na funkcję <math>y=f(x)</math> nakładane są następujące ograniczenia:
# W przedziale <math>[a,b]</math> znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
# Funkcja jest ciągła w przedziale <math>[a,b]</math>.
# Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: <math>f(a)f(b) < 0</math>.
# W przedziale <math>[a,b]</math> znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
# Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: <math>f(a)f(b)<0</math>.
# Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.
'''Uwaga:''' Ostatnie ograniczenie jest istotne tylko ze względu na możliwość szacowania błędu przybliżenia pierwiastka po danej iteracji i nie wpływa na zbieżność metody.
 
Algorytm przebiega następująco:
* Na początku przez punkty <math>A=(a, f(a))</math> i <math>B=(b, f(b))</math> przeprowadzana jest [[cięciwa]].
* Punkt przecięcia <math>x_1</math> z osią <math>OX</math> jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
* Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
* Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty <math>(x_1, f(x_1))</math> oraz <math>A</math> lub <math>B</math> – wybierany jest ten punkt, którego [[rzędna]] ma znak przeciwny do <math>f(x_1)</math>. JeżeliJednak jestw spełnionepraktyce, ograniczeniedzięki ograniczeniu nr&nbsp;4, to3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem i metoda nie różni się od [[Metoda siecznych|metody siecznych)]].
* Następnie wyznaczane jest przecięcie <math>x_i</math> nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX (<math>OXx_i</math>) i algorytm powtarza się.
 
Nazwa metody pochodzi od [[Łacina|łacińskich]] słów: ''regula<sup>[http://lysy2.archives.nd.edu/cgi-bin/words.exe?regula 1]</sup>'' znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i ''falsus'', fałszywy – metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako „fałszywa linia prosta”, jak i „fałszywa reguła” i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.