Wypukłość funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

'''Wypukłość''' i '''wklęsłość funkcji''' -– własności funkcji mówiące o jej położeniu względem jej [[styczna|stycznej]] w danym punkcie. Jeśli krzywa znajduje się

* nad styczną -– mówimy, że jest wypukła,

* pod styczną -– mówimy, że jest wklęsła.

Funkcja <math>f(x)</math> jest '''wypukła''' w [[Przedział (matematyka)|przedziale]] <math>(a, b)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy [[wykres funkcji]] leży ponad wykresem [[styczna|stycznej]] dla każdego punktu <math>x_0</math> z przedziału <math>(a, b)</math>. W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem

W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem:

Jeżeli z jednej strony punktu <math> x_0 </math> funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to <math>x_0</math> nazywamy [[Punkt przegięcia|punktem przegięcia]] krzywej.

O ile druga pochodna w punkcie <math> x_0 </math> istnieje, [[Warunek konieczny|warunkiem koniecznym]] na to aby punkt <math>x_0</math> był punktem przegięcia funkcji <math> f </math> jest:

: <math>f''(x_0) = 0 \,</math>

Nie jest to jednak [[warunek wystarczający]], gdyż w punkcie <math> x_0 </math> musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.

Rozważmy funkcję rzeczywistą <math> f(x) = x^4 </math>. Jej druga pochodna <math> f''(x) = 12x^2 </math> zeruje się jedynie w punkcie <math> x_0 = 0 </math>. W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej co oznacza, że funkcja <math> f </math> nie ma punktów przegięcia. Ponadto druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie, więc funkcja <math> f </math> jest funkcją wypukłą w całej dziedzinie.