Liczby harmoniczne: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Bot: Przenoszę linki interwiki (4) do Wikidata, są teraz dostępne do edycji na d:Q13407133 |
drobne merytoryczne |
||
Linia 7:
Liczby harmoniczne były badane w starożytności i pełnią ważną rolę w wielu działach [[Teoria liczb|teorii liczb]]. Potocznie nazywane są [[Szereg harmoniczny|szeregiem harmonicznym]], są blisko związane z [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcją ζ Riemanna]], a także pojawiają się w różnych wyrażeniach licznych [[Funkcje specjalne|funkcji specjalnych]].
Jak wykazał [[Mikołaj z Oresme]], dla dowolnego naturalnego <math>m</math> istnieje takie naturalne <math>n</math>, że <math>H_n>m</math>. Wynika to bezpośrednio z tego, że <math>\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+2}+...+\frac{1}{2^{k+1}}>\frac{1}{2^{k+1}}*2^k=\frac{1}{2}</math>, a zatem suma odwrotności liczb od 1 do 2 musi przekroczyć 1, od 1 do 4 musi przekroczyć 1,5, od 1 do 8 musi przekroczyć 2, od 1 do 16 musi przekroczyć 2,5, od 1 do 32 musi przekroczyć 3 i ogółem <math>\sum\limits_{i=1}^{2^{2l-1}}\frac{1}{i}>l</math>.
== Obliczanie ==
| |||