Dyfeomorfizm: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Linia 43:
; Twierdzenie
Niech ''G'' będzie otwartym podzbiorem <math>\mathbb{R}^n</math>, <math>\Gamma\colon [a,b]\to G</math> będzie [[droga (matematyka)|drogą kawałkami gładką]] oraz <math>\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)</math> będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej [[forma różniczkowa|formy]] <math>\Omega\in F^1_0(G; Y)</math>
: <math>\int\limits_{\,\Gamma\circ \varphi}\Omega=\varepsilon(\varphi)\int\limits_{\Gamma}\Omega</math>,
gdzie:
gdzie <math>\varepsilon(\varphi)=1</math>, gdy <math>\varphi</math> zachowuje orientację oraz <math>\varepsilon(\varphi)=-1</math>, gdy <math>\varphi</math> zmienia orientację.▼
▲
<math>\varepsilon(\varphi)=-1</math>, gdy <math>\varphi</math> zmienia orientację.
== Grupa dyfeomorfizmów ==
Linia 55 ⟶ 59:
== Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie ==
Niech <math>X</math> i <math>Y</math> będą [[przestrzeń Banacha|przestrzeniami Banacha]], <math>D</math> będzie niepustym, otwartym podzbiorem <math>X</math> oraz będzie dane odwzorowanie <math>F\colon D \to Y</math> klasy <math>C^1</math>. Jeśli <math>F</math> jest różniczkowalne w punkcie <math>x_0 \in D</math> oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) <math>X</math> na <math>Y</math>, to istnieje takie [[otoczenie punktu|otoczenie]] <math>U \subseteq D</math> punktu <math>x_0</math>, że
Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu [[twierdzenie o funkcji uwikłanej|twierdzenia o funkcji uwikłanej]].
| |||