Wikipedia

Proces Lévy’ego: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
PG (dyskusja | edycje)
Redaktorzy
159 897 edycji
drobne redakcyjne
AndrzeiBOT (dyskusja | edycje)
Boty
391 617 edycji
m Drobne redakcyjne - poprawa linków, apostrofów, cudzysłowów...
Linia 1:
{{dopracować|dokończyć formatowanie i dopisać definicję intuicyjną|źródła=2009-05}}
'''Proces Lévy'egoLévy’ego''' – [[proces stochastyczny]] <math>(X_t)_{t\geqslant 0}</math> na [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> o wartościach w przestrzeni euklidesowej <math>\mathbb{R}^d</math>, spełniający następujące warunki:
# <math>X_0 = 0</math>, <math>P</math>-prawie wszędzie,
# dla każdego ciągu <math>0 \leqslant t_0 < t_1 < \dots < t_n</math> [[zmienna losowa|zmienne losowe]] <math>X_{t_0}, X_{t_1} - X_{t_0}, \dots, X_{t_n} - X_{t_{n-1}}</math> są niezależne,
Linia 7:
:: <math>\lim_{s \to t} P(|X_s - X_t| > \varepsilon) = 0</math>.
 
Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (z ang. ''RCLL'', z fr. ''càdlàg'') procesem Lévy'egoLévy’ego.
 
== Własności ==
Najważniejszą cechą procesów Lévy'egoLévy’ego, sprawiającą, że są intensywnie badane, jest ich strukturalna stabilność. Cecha ta polega na tym, że suma dowolnej liczby procesów Lévy'egoLévy’ego jest także procesem Lévy'egoLévy’ego, co pozwala spojrzeć na procesy Lévy'egoLévy’ego jak na uogólnienie procesów Gaussa. Jednocześnie procesy Lévy'egoLévy’ego w ogólności nie mają skończonej [[wariancja|wariancji]], czyli możliwe są dowolnie duże skoki wartości przy procentowym udziale takich skoków znacznie większym niż dla procesów Gaussa, gdzie wariancja jest skończona.
 
== Wzór Lévy'egoLévy’ego ==
Rozkład procesu Lévy'egoLévy’ego w momencie <math>t\geq 0</math>, <math>X_t</math> jest [[Rozkład nieskończenie podzielny|rozkładem nieskończenie podzielnym]]. Stąd istnieje eksponencjalne przedstawienie funkcji charakterystycznej procesu Lévy'egoLévy’ego w chwili t - tzw. wzór Lévy'egoLévy’ego-Chinczyna:
 
: <math> E[e^{i<u,X_t>}] = e^{t\psi(u)}</math>,
Linia 26:
: <math> \int\limits_{R^d - \{0\}} \left( \| y \|^2 \wedge 1 \right) \nu(dy) < \infty, </math>
 
a <math>A </math> jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję <math>\psi(u)</math> nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy'egoLévy’ego. Trójkę <math>(b,A,\nu)</math> nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy'egoLévy’ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces.
 
Jeśli <math> \int\limits_{R^d - \{0\}} \left( \| y \| \wedge 1 \right) \nu(dy) < \infty, </math>, to wykładnik charakterystyczny można zapisać w postaci
<math> \psi(u) = - \frac{1}{2}<u,Au> + i <b,u> + \int\limits_{R^d - \{0\}} \left[e^{i<u,y>} - 1\right] \nu(dy), </math>
 
== Rozkład Lévy'ego–ItōLévy’ego–Itō ==
Proces Lévy'egoLévy’ego można przedstawić jako sumę
: <math> X_t = b t + X^{(1)}_t + X^{(2)}_t + X^{(3)}_t </math>,
gdzie <math>X^{(1)}</math> jest wielowymiarym procesm Wienera z macierzą kowariancji <math>A</math>, <math>X^{(2)}</math> jest to [[złożony proces Poissona]] o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara <math>\nu(y)1_{\|y\|>1}</math>. Proces <math>X^{(3)}</math> to czysto skokowy [[Martyngał (rachunek prawdopodobieństwa)|martyngał]].
 
== Przykłady ==
Szczególnymi przypadkami procesu Lévy'egoLévy’ego są:
* [[Proces Poissona]] - jest to– najprostszy proces Lévy'egoLévy’ego. Dla d=1 [[Funkcja charakterystyczna (teoria prawdopodobieństwa)|funkcja charakterystyczna]] jest postaci
 
: <math>\hat{\mu}(z) = \exp (c(e^{iz} - 1))</math>, przy czym <math>z \in \R</math>.
Linia 48:
 
Funkcja charakterystyczna jest postaci: <math>\hat{\mu}(z) = (1 - \frac{iz}{b} )^{-a}</math>.
* [[Proces Cauchy'egoCauchy’ego]]. Przy <math>\gamma \in \R, c > 0</math>, miara [[zbiór borelowski|zbioru
borelowskiego]] to:
: <math>\mu(B) = \pi^{-1} c \int\limits_B ((x-\gamma)^2 + c^2)^{-1} dx,</math> funkcja charakterystyczna to:
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Proces_Lévy’ego”