Twierdzenie Cantora o zupełności: Różnice pomiędzy wersjami

drobne redakcyjne
(drobne redakcyjne)
(drobne redakcyjne)
'''Twierdzenie Cantora''' – [[twierdzenie]] teorii [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznych]] autorstwa [[Georg Cantor|Georga Cantora]] będące warunkiem [[warunek konieczny|koniecznym]] i [[warunek wystarczający|dostatecznym]] [[przestrzeń zupełna|zupełności]] danej przestrzeni metrycznej: każdy [[ciąg zbiorów|zstępujący ciąg]] [[zbiór pusty|niepustych]] [[zbiór domknięty|zbiorów domkniętych]] o [[średnica zbioru|średnicach]] [[granica ciągu|dążących do zera]] ma granicę (tj. niepuste [[część wspólna|przecięcie]]; zob. [[zbiory rozłączne]])<ref>{{cytuj książkę | nazwisko =Kuratowski | imię =Kazimierz | autor link =Kazimierz Kuratowski | tytuł =Wstęp do teorii mnogości i topologii | wydawca =PWN | miejsce =Warszawa | rok =1962 | strony =146}}</ref> (zob. [[zbiory rozłączne]]).
 
Dla [[przestrzeń metryzowalna|przestrzeni metryzowalnych]] pokryciowa definicja [[przestrzeń zwarta|zwartości]] jest równoważna następującej definicji za pomocą [[ciąg zbiorów|ciągów zbiorów]]: każdy zstępujący ciąg niepustych [[zbiór domknięty|zbiorów domkniętych]]<ref group="uwaga">Założenie zstępowania ciągu niepustych zbiorów domkniętych można zastąpić [[własność skończonych przekrojów|własnością przecięć skończonych]] [[rodzina indeksowana|rodziny]] zbiorów domkniętych.</ref> ma granicę (tj. niepuste przecięcie). Warunek Cantora jest słabszy niż przytoczona definicja, dlatego ''każda metryzowalna przestrzeń zwarta jest zupełna''<ref group="uwaga">Dla każdej metryki <math>\scriptstyle d</math> generującej [[przestrzeń topologiczna|topologię]] przestrzeni zwartej <math>\scriptstyle (X, \tau)</math> przestrzeń metryczna <math>\scriptstyle (X, d)</math> jest zupełna.</ref>. Powyższej obserwacji można również dowieść powołując się na równoważną (dla przestrzeni metryzowalnych) powyższym definicjom definicję ciągową: z każdego ciągu punktów przestrzeni można wybrać podciąg zbieżny w tej przestrzeni; oraz wykorzystaną w dowodzie własność [[ciąg Cauchy'ego|ciągów Cauchy'ego]]: punkt skupienia ciągu Cauchy'ego jest jego granicą.
Anonimowy użytkownik