Wartość oczekiwana: Różnice pomiędzy wersjami

Zaprowadziłem właściwą kolejność w artykule, dodałem przypisy.
[wersja przejrzana][wersja nieprzejrzana]
(drobne redakcyjne)
(Zaprowadziłem właściwą kolejność w artykule, dodałem przypisy.)
 
== Definicja formalna ==
=== Zmienna dyskretna ===
Niech <math>X</math> będzie [[dyskretny rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu dyskretnego]]. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw z jakimi są one przyjmowane.
 
Jeżeli [[dyskretny rozkład prawdopodobieństwa|dyskretna]] [[zmienna losowa]] <math>X</math> przyjmuje wartości <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio <math>p_1, p_2, \dots, p_n</math>, to wartość oczekiwana <math>\mathbb EX</math> zmiennej losowej <math>X</math> wyraża się wzorem
: <math>\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i</math>.
 
Jeżeli zmienna <math>X</math> przyjmuje nieskończenie ale [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie]] wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje <math>\infty</math> w miejsce <math>n\,</math> (istnieje ona tylko wtedy, gdy [[szereg (matematyka)|szereg]] ten jest zbieżny bezwzględnie).
 
=== Zmienna ciągła ===
Jeżeli <math>X</math> jest [[ciągły rozkład prawdopodobieństwa|zmienną losową typu ciągłego]] zdefiniowaną na [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)</math>, to wartość oczekiwaną zmiennej losowej <math>X</math> definiuje się jako [[całka|całkę]]
: <math>\mathbb EX := \int\limits_\Omega X d\mathbb P</math><ref>{{Cytuj|autor=J. Jakubowski, R. Sztencel|tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa|data=2010|miejsce=Warszawa|s=82}}</ref>
o ile powyższa całka istnieje, tzn. jeżeli:
: <math>\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty</math><ref>{{Cytuj|autor=J. Jakubowski, R. Sztencel|tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa|data=2010|miejsce=Warszawa|s=81}}</ref>.
=== Zmienna dyskretna ===
JeżeliW [[dyskretnyprzypadku, rozkład prawdopodobieństwa|dyskretna]]gdy [[zmienna losowa]] <math>X</math> ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio <math>p_1, p_2, \dots, p_n</math>, to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwanaoczekiwaną <math>\mathbb EX</math> zmiennej losowej <math>X</math> wyraża się wzorem
: <math>\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i</math><ref>{{Cytuj|autor=J. Jakubowski, R. Sztencel|tytuł=Wstęp do teorii prawdopodobieństwa|data=2010|miejsce=Warszawa|s=85}}</ref>.
 
Jeżeli zmienna <math>X</math> przyjmuje nieskończenie ale [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie]] wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje <math>\infty</math> w miejsce <math>n\,</math> (istnieje ona tylko wtedy, gdy [[szereg (matematyka)|szereg]] ten jest zbieżny bezwzględnie).
 
== Właściwości ==
 
== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Jakubowski | imię = Jacek | nazwisko2 = Sztencel | imię2 = Rafał | tytuł = Wstęp do teorii prawdopodobieństwa | data = 2004 |rok=| wydawca = Script | miejsce = Warszawa | imię2 = Rafał | nazwisko2 = Sztencel | strony = | isbn = 83-89716-01-1 | strony = 79 }}
 
[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]]
384

edycje