Małe twierdzenie Fermata: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m →Bibliografia: poprawa nieprawidłowych numerów ISBN |
|||
Linia 1:
'''Małe twierdzenie Fermata''' (MTF) – twierdzenie [[teoria liczb|teorii liczb]] sformułowane (bez dowodu) przez francuskiego [[matematyka]] [[Pierre de Fermat|
Małe twierdzenie Fermata:
Linia 19:
Bez straty ogólności można założyć, że <math>a</math> jest liczbą naturalną. Rozpatrzmy wszystkie możliwe kolorowania koła podzielonego na ''p'' części za pomocą ''a'' kolorów. Kolorowania, które możemy na siebie nałożyć po obróceniu, liczymy jako dwa różne. Wszystkich kolorowań jest <math>a^p</math>.
Wszystkie kolorowania, w których wykorzystaliśmy co najmniej dwa kolory możemy obracać tak, że otrzymamy zestawy po ''p'' parami różnych kolorowań, które są swoimi obrotami (przykładowe cztery z pewnego zestawu dla ''p''=7, ''a''=3 są przedstawione na rysunku). Jeżeli w pewnym zestawie utworzonym w ten sposób wystąpiłyby takie same kolorowania, to oznaczałoby to, że kąt pełny jest wielokrotnością pewnego kąta <math>\tfrac{2 \pi n}{p}
:
:: <math>a^p = pn + a</math>,
: gdzie ''n'' jest pewną liczbą naturalną.
Linia 27:
=== Dowód wykorzystujący metody teorii grup ===
Zbiór <math>\mathbb Z_p^*=\{1, \ldots, p-1\}</math> jest [[grupa (matematyka)|grupą]] z działaniem mnożenia modulo ''p'', nazywaną [[Arytmetyka modularna|
: <math>a^k \equiv 1 \pmod p</math>.
Z [[
: <math>p-1 = km</math>.
Wówczas
Linia 38:
=== Dowód indukcyjny ===
Załóżmy, że <math>a</math> jest liczbą naturalną. Twierdzenie to jest prawdziwe, gdy <math>a = 1</math>. Zatem załóżmy indukcyjnie, że:
: <math>a^p \equiv a \pmod p</math> dla <math>a \geqslant 1</math>.
Wówczas:
: <math>(a+1)^p = \sum_{k=0}^p{p \choose k}a^k = a^p + a^0 + \sum_{k=1}^{p-1}{p \choose k}a^k
Ponieważ
: <math>{p \choose k} = \frac{p(p-1)(p-2)\cdots (p-k+1)}{k!}
więc dla <math>0<k<p</math> żaden z czynników <math>k!</math> nie jest równy <math>p</math>, dlatego <math>{p \choose k}</math> jest wielokrotnością <math>p</math>. Zatem:
: <math>{p \choose k}
Ostatecznie:
: <math>(a+1)^p \equiv a^p + a^0 + \sum_{k=1}^{p-1}{p \choose k}a^k \equiv a^p + a^0 \equiv a + 1
Zatem na mocy indukcji <math>
== Zobacz też ==▼
* [[liczby pseudopierwsze]]▼
* [[wielkie twierdzenie Fermata]]▼
{{Przypisy}}
== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę|nazwisko=Sierpiński|imię=Wacław|autor link=Wacław Sierpiński|tytuł=Arytmetyka teoretyczna|wydanie=2|wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]]|miejsce=Warszawa|rok=1959|strony=
* {{cytuj książkę |nazwisko = Iłowiecki | imię = Maciej | tytuł = Dzieje nauki polskiej | wydawca = Interpress | miejsce = Warszawa | rok = 1981| strony = | isbn = 83-223-1876-6 |odn= tak}}
▲== Zobacz też ==
▲* [[liczby pseudopierwsze]]
▲* [[wielkie twierdzenie Fermata]]
[[Kategoria:Teoria liczb]]
|