Grupa multiplikatywna: Różnice pomiędzy wersjami

{{inne znaczenia|grupy w zapisie multyplikatywnymmultiplikatywnym|[[pierścień (matematyka)]], [[ciało (matematyka)]], [[algebra nad ciałem]]}}

* w [[teoria grup|teorii grup]]: '''grupa w zapisie multyplikatywnymmultiplikatywnym'''<ref group="uwaga" name="uwaga1">W nowszych publikacjach spotykastosuje się używanie przymiotnikaprzymiotnik ''multiplikatywny'', który przyjął się prawdopodobnie od angielskiego tłumaczenia przymiotnika ''multiplicative''. Obecnie słownik ortograficzny dopuszcza już tylko formę '''multi-''', jednakże w artykułach o pojęciach algebraicznych będziemy używać formy ''multy-'' ze względów tradycyjnych. Przymiotnik ''multyplikatywnymultiplikatywny'' oznacza tyle co ''odnoszący się do mnożenia''. W języku staropolskim, terminem ''[[Mnożenie|multyplikacja]]'' określane było mnożenie.</ref> – [[grupa (matematyka)|grupa]], w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku <math>\cdot</math>, branie elementu odwrotnego przez ^-1−1, [[element neutralny]] zaś oznaczony jest przez <math>1</math><ref>M.I. Kargapołow, J.I. Mierzliakow ''Podstawy teorii grup'', PWN 1976, strs. 14.</ref>;

* w [[teoria pierścieni|teorii pierścieni]], [[ciało (matematyka)|ciał]], [[algebra nad ciałem|algebr]] '''grupa multyplikatywnamultiplikatywna'''<ref group="uwaga" name="uwaga1" /> <math>(R^*,\cdot)</math> '''pierścienia, ciała, algebry łącznej''' <math>R</math> to zbiór [[element odwracalny|elementów odwracalnych]] [[pierścień (matematyka)|pierścienia]], [[ciało (matematyka)|ciała]], [[algebra nad ciałem|algebry]] łącznej z działaniem mnożenia<ref>[[Andrzej Białynicki-Birula]] ''Zarys algebry'', PWN 1987, strs. 47.</ref>; często używane oznaczenia: <math>R^*</math>, <math>R^{\cdot}</math>, <math>U(R)</math>;

* algebraiczny [[torus (matematyka)|torus]] <math>GL_1</math> jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia snopa <math>\mathbb{G}_m</math>, ale pojawia się często poza geometrią algebraiczną pod nazwą grupa multyplikatywnamultiplikatywna; jest rozmaitością grupową.

* w [[geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]]: snop [[grupa przemienna|grup abelowych]] <math>\mathbb{G}_m</math> reprezentowany przez schemat grupowy <math>\mathrm{Spec}\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]</math>; grupą przekrojów tego snopa nad afinicznym zbiorem otwartym <math>\mathrm{Spec}R</math> jest grupa homomorfizmów pierścieni <math>\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]\rightarrow R</math><ref>Davis Mumford ''Abelian Varieties'', Bombay 1968, III§11.</ref>; ta grupa jest naturalnie izomorficzna z grupą <math>R^*</math>: homomorfizmowi <math>f:\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]\rightarrow R</math> odpowiada jednoznacznie element <math>f(X)</math>, przy czym <math>f(X)f(X^{-1})=1</math>;

Sam schemat <math>\mathrm{Spec}\mathbb{Z}\left[X,X^{-1}\right]</math> też jest nazywany grupą multyplikatywnąmultiplikatywną.

* [[pierścieńarytmetyka klas resztmodularna#Grupa multyplikatywnamultiplikatywna|multyplikatywnamultiplikatywna grupa klas reszt]]