Kresy dolny i górny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne |
→Własności i przykłady: jeszcze jeden negatywny przykład |
||
Linia 76:
=== Własności i przykłady ===
* Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład, jeśli rozważymy zbiór [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] <math>{\mathbb Q}</math> z porządkiem naturalnym i zbiór <math>A=\{q\in {\mathbb Q}:q^2<2\}</math>, to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym. (Oczywiście ten sam zbiór ma kres dolny i kres górny w liczbach rzeczywistych.)
* Niech <math>X=(1,2)\cup(3,4)</math> będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór <math>(1,2)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu górnego, bowiem <math>(3,4)</math> jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru <math>(1,2)</math>, ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór <math>(3,4)</math> nie ma w zbiorze <math>X</math> kresu dolnego.
* Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też kres dolny i kres górny można oznaczać symbolami odpowiednio <math>\inf(A)</math> i <math>\sup(A)</math>.
* Jeśli <math>(X,\sqsubseteq)</math> jest [[Porządek liniowy|porządkiem liniowym]], to istnieje zupełny porządek liniowy <math>(Y,\leqslant)</math> taki że <math>X\subseteq Y</math> i obcięcie <math>\leqslant \upharpoonright X</math> zgadza się z <math>\sqsubseteq</math>, oraz <math>X</math> jest gęstym podzbiorem <math>Y</math>. Porządek <math>(Y,\leqslant)</math> jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
| |||