Kresy dolny i górny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Porządki częściowe: zmiana tytułu sekcji, wydzielenie podsekcji z własnościami |
→Zbiory liczbowe: drobne redakcyjne, zmiana tytułu sekcji, ujednolicenie narracji |
||
Linia 2:
'''Kres (kraniec) dolny''', '''infimum''' ({{łac.|infimus}} „najniższy”) oraz '''kres (kraniec) górny''', '''supremum''' ({{łac.|supremus}} „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ''ograniczeń dolnych'' oraz najmniejsze z ''ograniczeń górnych'' danego [[zbiór|zbioru]], o ile takie istnieją.
==
Najczęściej oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów [[liczby rzeczywiste|liczbowych]].
Linia 8:
Niech <math>A\subseteq \mathbb R</math> będzie [[zbiór pusty|niepustym podzbiorem]].
'''Ograniczeniem górnym (
:<math>s \geqslant a\;
Analogicznie '''ograniczeniem dolnym (minorantą)''' zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.
'''Kresem górnym''' zbioru <math>A</math> nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę <math>s \in \mathbb R</math> spełniającą:
Linia 17 ⟶ 18:
Analogicznie '''kresem dolnym''' zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.
Kres górny zbioru <math>A</math> oznaczamy <math>\sup(A)</math>, kres dolny <math>\inf(A)</math>.
Zapisy <math>\inf(A) = -\infty</math> oraz <math>\sup(A) = \infty</math> oznaczają, że <math>A</math> jest [[zbiór ograniczony|nieograniczony]] odpowiednio z dołu lub z góry (zob. [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych]]). === Własności ===
* Każdy niepusty podzbiór <math>\mathbb R</math> ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się [[Porządek zupełny|zupełnością zbioru]] liczb rzeczywistych (zob. [[aksjomat ciągłości]]).
* Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa
* Przypuśćmy że <math>A\subseteq \mathbb R</math> jest niepustym zbiorem oraz <math>s \in \mathbb R</math>, wówczas
*: <math>s = \sup(A)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\forall_{a \in A}\; a \leqslant s</math> oraz <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{a \in A}\; a > s - \varepsilon</math>;
| |||