Topologia produktowa: Różnice pomiędzy wersjami

Innymi słowy, każdy zbiór otwarty w ''X'' jest sumą pewnej (możliwe, że nieskończonej) rodziny zbiorów powyższej postaci.

 

:<math>\prod_{i \in I} U_i</math>,

gdzie każdy ze zbiorów ''U''_''i'' jest otwarty w ''X''_''i'', a zbiór {''i'' ∈ ''I'': ''U_i'' ≠ ''X_i''} jest skończony.

Ważnym twierdzeniem o topologii produktowej jest [[twierdzenie Tichonowa]]: dowolny produkt [[przestrzeń zwarta|przestrzeni zwartych]] jest zwarty (co stosunkowo łatwo dowieść dla produktów skończonych). Ogólne twierdzenie, w postaci „produkt zbioru niepustych zbiorów jest niepusty”, jest z kolei równoważne [[aksjomat wyboru|aksjomatowi wyboru]]. Dowód jest dość prosty: wystarczy wybrać element z każdego zbioru, aby wskazać reprezentanta w produkcie. Odwrotnie, reprezentant produktu to zbiór, który zawiera dokładnie jeden element z każdej składowej. W kontekście przestrzeni produktowych aksjomat wyboru napotyka się w ogólniejszej postaci, np. twierdzenie Tichonowa dotyczące zbiorów zwartych jest nieco bardziej złożonym i subtelnym przykładem stwierdzenia równoważnego aksjomatowi wyboru.

 

 

== Związki topologiczne ==

== Zobacz też ==

* [[suma rozłączna]]

* [[Topologia ilorazowa|przestrzeń ilorazowa]]

* [[Topologia podprzestrzeni|podprzestrzeń]]

 

{{Przypisy}}

 

[[Kategoria:Topologia]]