Inwolucja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 259 bajtów ,  4 lata temu
usuwam scriptstyle
(Wszystkie niematematyczne przykłady z sekcji „Inne dziedziny” sprowadzają się do omówionej wyżej symetrii płaszczyznowej. A inwolucja jest funkcją i nie ma wiele wspólnego relacją równoważności)
(usuwam scriptstyle)
'''Inwolucja''' – [[funkcja]], która ma [[funkcja odwrotna|funkcję odwrotną]] równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która [[złożenie funkcji|złożona]] sama ze sobą jest [[funkcja tożsamościowa|tożsamością]].
 
Z powyższych definicji wynika, że inwolucja musi być funkcją zbioru w siebie; jeśli <math>\scriptstyle f\colon X \to X</math> jest taką funkcją i dla dowolnego <math>\scriptstyle x \in X</math> zachodzi warunek <math>\scriptstyle f\displaystyle(\scriptstyle f(x)\displaystyle)\scriptstyle = x,</math> bądź <math>\scriptstyle f \circ f = \mathrm{id}_X,</math> to funkcję tę nazywa się ''inwolucją'' (druga definicja uogólnia się w [[teoria kategorii|teorii kategorii]] na morfizmy).
 
== Własności ==
[[Plik:Involution.svg|right|thumb|Inwolucja zbioru.]]
Każda inwolucja, jako funkcja odwracalna, jest [[bijekcja|bijekcją]] (w przypadku morfizmów – [[izomorfizm]]em). Ponadto dla dowolnego <math>\scriptstyle k \in \mathbb N</math> jest
: <math>f^{2k} = \mathrm{id}_X \text{ oraz } f^{2k+1}(x) = f.</math>
 
Jeśli <math>\scriptstyle X^Y</math> oznacza zbiór wszystkich funkcji <math>\scriptstyle X \to Y,</math> zaś <math>\scriptstyle i\colon Y \to Y</math> jest inwolucją, to funkcja <math>\scriptstyle \mathrm A\colon X^Y \to X^Y</math> dana wzorem
: <math>\mathrm A(f) := i \circ f</math>
jest inwolucją. Podobnie jeżeli funkcja <math>\scriptstyle \mathrm B\colon Y^Z \to Y^Z</math> zdefiniowana jest wzorem
:<math>\mathrm B(g) := g \circ i,</math>
to jest ona inwolucją (własności te zachodzą dla morfizmów w dowolnej kategorii).
 
== Przykłady ==
*[[Trywialność (matematyka)|Trywialnym]] przykładem inwolucji jest [[przekształcenie tożsamościowe]]. Inwolucją jest funkcja <math>\scriptstyle A^2 \to A^2,</math> czyli [[iloczyn kartezjański|kwadratu kartezjańskiego]] zbioru <math>\scriptstyle A</math> w siebie dane wzorem <math>\scriptstyle (x, y) \mapsto (y, x);</math> zbiorem jej [[punkt stały|punktów stałych]] jest przekątna <math>\scriptstyle \Delta A := \displaystyle\{\scriptstyle (x, x)\colon x \in A \displaystyle\}\scriptstyle.</math> Wiele inwolucji jest indukowanych przez tę inwolucję, np. [[macierz transponowana|transpozycja macierzy]] (opisana inwolucja jest z kolei indukowana przez [[transpozycja (matematyka)|transpozycję]] ciągu dwuelementowego, tzn. zamiany osi).
*[[Liczba przeciwna|Zmiana znaku]] <math>\scriptstyle x \mapsto -x</math> jest inwolucją w dowolnej [[grupa (matematyka)|grupie]] (w notacji [[grupa addytywna|addytywnej]]), a więc [[pierścień (matematyka)|pierścieniu]] (np. [[liczby całkowite|liczb całkowitych]]) czy [[ciało (matematyka)|ciele]] (np. [[liczby wymierne|liczb wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]], [[liczby zespolone|zespolonych]]); [[liczba odwrotna|odwrotność]] <math>\scriptstyle x \mapsto 1/x</math> jest inwolucją w grupie [[element odwracalny|elementów odwracalnych]] ([[grupa multiplikatywna|grupie multiplikatywnej ciała]], np. liczb wymiernych, rzeczywistych czy zespolonych różnych od zera). Nietrywialną inwolucją liczb zespolonych jest [[sprzężenie zespolone|sprzężenie]]. W rachunku macierzy inwolucjami są [[macierz transponowana|transpozycja]], [[macierz sprzężona (trywialnie)|sprzężenie]], [[sprzężenie hermitowskie]] (połączenie transpozycji i sprzężenia) oraz [[macierz odwrotna|odwracanie]] macierzy.
*Z punktu widzenia [[algebra|algebry]], a w szczególności [[teoria grup|teorii grup]] zasadniczo inwolucją nazywa się element [[rząd (teoria grup)|rzędu]] dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu pierwszego, czyli [[element neutralny]]; wynika to stąd, iż tworzą one [[podgrupa|podgrupę]] [[grupa symetryczna|grupy symetrycznej]] złożonej ze wszystkich bijekcji ustalonego zbioru). W ten sposób [[permutacja]] jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2; każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji. [[Grupa Coxetera|Grupy Coxetera]] to grupy [[zbiór generatorów grupy|generowane]] przez inwolucje<ref>Bourbaki. ''Groupes et Algèbres de Lie'', Hermann, Paris, Rozdział 4.1.</ref>.
*W [[geometria|geometrii]] euklidesowej inwolucjami są [[symetria|symetrie]] (m.in. [[symetria płaszczyznowa]], [[symetria osiowa|osiowa]], [[symetria środkowa|środkowa]]) oraz [[inwersja (geometria)|inwersja]]. Inwolucje są obiektem głębokich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład <ref>S. López de Medrano, ''Involutions on Manifolds'', Springer-Verlag, 1971.</ref>.