Łańcuch (teoria mnogości): Różnice pomiędzy wersjami

m
lit.
m (przecinek, replaced: wtedy gdy → wtedy, gdy (3) przy użyciu AWB)
m (lit.)
 
== Definicja ==
Przy określonym częściowym porządku <math>(P, \sqsubseteq)</math> [[zbiór]] <math>A\subseteq P</math> nazywamy '''łańcuchem''' wtedy i tylko wtedy, gdy
: <math>\big(\forall x,y \in A\big)\big(x \sqsubseteq y \vee y \sqsubseteq x\big)</math>.
Innymi słowy zbiór <math>A</math> jest łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy relacja <math>\sqsubseteq</math> porządkuje go [[Porządek liniowy|liniowo]], czyli jest ona relacją [[Relacja spójna|spójną]] w <math>A</math>.
 
== Przykłady i własności ==
* Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też [[antyłańcuch]]em).
* Rozważmy płaszczyznę <math>\mathbb{R}^2</math> z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez
: <math>\langle x_1,y_1\rangle \leqslant_0\langle x_2,y_2\rangle</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x_1\leqslant x_2</math> i <math>y_1\leqslant y_2</math>.
: (Powyżej, <math>\leqslant </math> jest standardową nierównością na [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] <math>\mathbb{R}</math>.) Wówczas każda [[prosta]] pionowa i każda prosta o [[Znak liczby|nieujemnym]] współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w <math>(\mathbb{R}^2,\leqslant_0)</math>. Także wykres dowolnej [[funkcja rosnąca|funkcji rosnącej]] jest łańcuchem w tym porządku.
* Rozważmy zbiór <math>{}^{\omega>}2</math> wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację <math>\trianglelefteq</math> wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math> połóżmy <math>A_\eta=\{\eta\upharpoonright n:n\in\omega\}</math>. Wówczas <math>A_\eta</math> jest łańcuchem w <math>({}^{\omega>}2,\trianglelefteq)</math>. Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze <math>A_\eta</math> dla pewnego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math>.
 
== Warunki łańcucha ==
W teorii porządków częściowych rozważa się czasami dwie własności porządków bezpośrednio związane z łańcuchami. Niech <math>(P, \sqsubseteq)</math> będzie zbiorem częściowo uporządkowanym.
* Powiemy że <math>P</math> spełnia '''warunek rosnących łańcuchów''' lub ACC (od [[język angielski|ang.]] ''ascending chain condition'') jeśli każdy rosnący łańcuch <math>a_0\sqsubseteq a_1\sqsubseteq a_2\sqsubseteq\ldots</math> jest od pewnego miejsca stały.
* Podobnie mówimy że <math>P</math> spełnia '''warunek malejących łańcuchów''' lub DCC (od [[język angielski|ang.]] ''descending chain condition'') jeśli każdy malejący łańcuch <math>a_0\sqsupseteq a_1\sqsupseteq a_2\sqsupseteq\ldots</math> jest od pewnego miejsca stały.
 
 
== Funkcje kardynalne ==
W porządkach skończonych wprowadza się '''długość porządku''' (czasami zwaną też '''wysokością porządku''') jako ilość elementów w najdłuższym łańcuchu w tym porządku. Dwie [[funkcja kardynalna|funkcje kardynalne]] na algebrach Boole'a, '''głębokość''' <math>{\rm depth}</math> i '''długość''' <math>{\rm length}</math> są bezpośrednio związane ze strukturą łancuchówłańcuchów w rozważanej algebrze. Niech <math>\mathbb{B}</math> będzie algebrą Boole'a. Określamy
: <math>{\rm length}(\mathbb{B})=\sup\big\{|A|:A\subseteq \mathbb{B}</math> jest łańcuchem <math>\big\}</math>
: <math>{\rm depth}(\mathbb{B})=\sup\big\{ |A|:A\subseteq \mathbb{B}</math> jest [[Dobry porządek|dobrze uporządkowanym]] łańcuchem <math>\big\}</math>.
35 991

edycji