Szereg harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Szeregi harmoniczne wyższych rzędów: drobne redakcyjne |
drobne redakcyjne |
||
Linia 14:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots ></math>
: <math>> 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) +\dots=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\dots</math>.
Ponieważ suma liczb w każdym nawiasie wynosi ½, ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy skończonej{{odn|Fichtenholz|
===Dowód Bradleya===
▲===Dowód Bradleya<ref>D.M. Bradley, A note on the divergence of the harmonic series, ''American Mathematical Monthly'', 107 (2000), 651.</ref>===
Dla dowolnej liczby <math>x > -1</math> spełniona jest nierówność <math>x \geqslant ln(x + 1)</math>, a więc:
:<math>\frac{1}{k}\geqslant \ln\left(1+ \frac{1}{k}\right)= \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) = \ln(k+1) - \ln k</math>.
| |||