Topologia produktowa: Różnice pomiędzy wersjami

: <math>\mathrm p_{i_1}^{-1}(U_{i_1}) \cap \ldots \cap \mathrm p_{i_n}^{-1}(U_{i_n}),</math>

: <math>\prod_{i \in I} U_i</math>,

Wprowadzając topologię produktową na produkcie skończenie wielu kopii przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\scriptstyle \mathbb R</math> (z naturalną topologią) otrzymuje się zwykłą [[przestrzeń euklidesowa|topologię euklidesową]] na <math>\scriptstyle \mathbb R^n.</math>

[[Zbiór Cantora]] jest [[homeomorfizm|homeomorficzny]] z produktem przeliczalnie wielu [[Przestrzeń dyskretna|przestrzeni dyskretnych]] <math>\scriptstyle \{0, 1\},</math> a przestrzeń [[liczby niewymierne|liczb niewymiernych]] z produktem przeliczalnie egzemplarzy [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] z topologią dyskretną.

Przestrzeń produktowa <math>\scriptstyle X,</math> wraz z rzutami kanonicznymi, może być opisana za pomocą następującej [[własność uniwersalna|własności uniwersalnej]]: jeżeli <math>\scriptstyle Y</math> jest przestrzenią topologiczną i dla każdego <math>\scriptstyle i \in I</math> funkcja <math>\scriptstyle f_i\colon Y \to X_i</math> jest przekształceniem ciągłym, to istnieje jedno i tylko jedno takie przekształcenie ciągłe <math>\scriptstyle f\colon Y \to X,</math> że dla każdego <math>\scriptstyle i \in I</math> następujący diagram jest [[diagram przemienny|przemienny]]:

Własność ta pokazuje, że przestrzeń produktowa jest [[produkt (teoria kategorii)|produktem]] w [[kategoria przestrzeni topologicznych|kategorii przestrzeni topologicznych]]. Z powyższej własności uniwersalnej wynika też, że przekształcenie <math>\scriptstyle f\colon Y \to X</math> jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle f_i = \mathrm p_i \circ f</math> jest ciągłe dla każdego <math>\scriptstyle i \in I.</math> W wielu przypadkach sprawdzenie ciągłości funkcji składowych <math>\scriptstyle f_i</math> bywa łatwiejsze. Zwykle trudniej dowieść ciągłości przekształcenia <math>\scriptstyle g\colon X \to Z;</math> w pewien sposób korzysta się wtedy z ciągłości <math>\scriptstyle \mathrm p_i.</math>

Ciągłe przekształcenia <math>\scriptstyle \mathrm p_i\colon X \to X_i</math> są także [[odwzorowania otwarte i domknięte|otwarte]], tzn. rzut dowolnego podzbioru otwartego przestrzeni produktowej na <math>\scriptstyle X_i</math> pozostaje otwarty. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: jeżeli <math>\scriptstyle W</math> jest [[Topologia podprzestrzeni|podprzestrzenią]] przestrzeni produktowej, dla której wszystkie rzuty na <math>\scriptstyle X_i</math> są otwarte, to <math>\scriptstyle W</math> nie musi być otwarta w <math>\scriptstyle X</math> (np. <math>\scriptstyle W = \mathbb R^2 \setminus (0, 1)^2</math>). W ogólności rzuty kanoniczne nie są [[odwzorowania otwarte i domknięte|przekształceniami domkniętymi]] (kontrprzykładem może być zbiór domknięty <math>\scriptstyle \{(x,y) \in \mathbb R^2\colon xy = 1\},</math> którego rzutami na obie osie są <math>\scriptstyle \mathbb R \setminus \{0\}</math>).

Topologię produktową nazywa się także ''topologią [[granica funkcji|zbieżności punktowej]]'', co wynika z następującej obserwacji: [[ciąg (matematyka)|ciąg]] (także [[ciąg uogólniony|uogólniony]]) w <math>\scriptstyle X</math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są wszystkie jego rzuty na <math>\scriptstyle X_i.</math> W szczególności, jeśli <math>\scriptstyle X = \mathbb R^I</math> wszystkich funkcji o wartościach [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] określonych na <math>\scriptstyle I,</math> to zbieżność w topologii produktowej pokrywa się ze zbieżnością punktową funkcji.

Produkt domkniętych podzbiorów <math>\scriptstyle X_i</math> jest zbiorem domkniętym w <math>\scriptstyle X.</math>

:: [[Prosta Sorgenfreya]] ''X'' jest przestrzenią normalną ale jej kwadrat ''X'' × ''X'' nie jest normalny. [[Arthur Harold Stone|A.H. Stone]] udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną<ref>A.H. Stone, [http://www.ams.org/journals/bull/1948-54-10/S0002-9904-1948-09118-2/S0002-9904-1948-09118-2.pdf Paracompactness and product spaces], ''Bull. Amer. Math. Soc.'', '''54''' (1948), 977–982.</ref>.

Niech <math>\scriptstyle (X_i, \tau_i),</math> gdzie <math>\scriptstyle i \in I</math> będą [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniami topologicznymi]]. Wówczas w ''m''-produkcie przestrzeni <math>\scriptstyle X_i</math> można wprowadzić topologię zadaną przez [[podbaza przestrzeni topologicznej|podbazę]] postaci

gdzie <math>\scriptstyle \mathrm p</math> oznacza rzut kanoniczny.