Mnożenie przez skalar: Różnice pomiędzy wersjami

Niech <math>\scriptstyle V</math> będzie przestrzenią liniową nad ciałem <math>\scriptstyle K;</math> elementy przestrzeni nazywane będą ''[[wektor]]ami'' (i oznaczane pismem pogrubionym), a elementy ciała nazywane będą ''[[skalar (matematyka)|skalarami]]'' (i oznaczane pismem pochyłym). Działanie '''mnożenia''' wektora z <math>\scriptstyle V</math> '''przez skalar''' z <math>\scriptstyle K</math> definiuje się jako [[funkcja|funkcję]] <math>\scriptstyle K \times V \to V,</math> która przekształca [[para uporządkowana|parę]] skalar-wektor <math>\scriptstyle (c, \mathbf v)</math> w wektor <math>\scriptstyle c \mathbf v</math> zgodnie z poniższymi [[aksjomat]]ami:

* zgodność z elementem neutralnym <math>\scriptstyle 1</math> mnożenia z ciała („zachowanie zwrotu”),

* zgodność elementów neutralnych ciała <math>\scriptstyle 0</math> i przestrzeni liniowej <math>\scriptstyle \mathbf 0</math> (zob. [[wektor zerowy]]),

W szczególnym przypadku za <math>\scriptstyle V</math> można wziąć samo <math>\scriptstyle K</math> i przyjąć jako mnożenie przez skalar mnożenie z ciała. Jeśli <math>\scriptstyle V</math> jest [[przestrzeń współrzędnych|przestrzenią współrzędnych]] <math>\scriptstyle K^n,</math> to mnożenie przez skalar jest [[działanie określone punktowo#Działanie określone po współrzędnych/składowych|określone po współrzędnych]]. [[Macierz]]e ustalonego typu tworzą przestrzeń liniową z ich dodawaniem i mnożeniem przez skalar, zob. [[mnożenie macierzy#Mnożenie przez skalar|mnożenie macierzy przez skalar]]. Jeśli <math>\scriptstyle K</math> oznacza ciało [[liczby zespolone|liczb zespolonych]], to mnożenie przez skalar jest złożeniem [[jednokładność|jednokładności]] o współczynniku równym [[wartość bezwzględna#Liczby zespolone|modułowi]] i [[obrót|obrotu]] wektora o [[kąt]] równy [[argument liczby zespolonej|argumentowi]] tego skalara (zob. [[płaszczyzna zespolona]]).

W ogólności mnożenie przez skalar można postrzegać jako [[działanie algebraiczne|zewnętrzne]] [[działanie dwuargumentowe]] lub [[działanie grupy na zbiorze|działanie]] ciała na przestrzeni liniowej. Wychodząc z tego punktu widzenia można uogólnić ideę skalowania: jeśli <math>\scriptstyle K</math> jest [[pierścień przemienny|pierścieniem przemiennym]]; wówczas konstrukcję <math>\scriptstyle V</math> analogiczną do przestrzeni liniowej nazywa się ''[[moduł (matematyka)|modułem]]'' nad <math>\scriptstyle K.</math> Założenia dotyczące struktury na zbiorze skalarów można dalej osłabiać: <math>\scriptstyle K</math> może być [[półpierścień|półpierścieniem]] (przemiennym), lecz wtedy nie można mówić o elementach przeciwnych; jeśli <math>\scriptstyle K</math> jest strukturą [[przemienność|nieprzemienną]], to należy zwracać uwagę na kolejność mnożonych elementów.