Wersja z 13:36, 18 lip 2017 edytuj Loxley (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 9013 edycji →‎Przykład: drobne redakcyjne ← poprzednia edycja		Wersja z 14:45, 18 lip 2017 edytuj anuluj edycję Loxley (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 9013 edycji →‎Przykład: drobne merytoryczne następna edycja →
Linia 28: W przypadku, gdy szereg {{LinkWzór\|A}} jest zbieżny, wyżej zdefiniowany ciąg całek częściowych jest również ograniczony, a więc zbieżny (do całki {{LinkWzór\|I}}) jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych.{{odn\|Leja\|1971\|s=276}} == ~~Przykład~~Przykłady zastosowania == * [[Szereg harmoniczny]] rzędu ''s'': Szereg ▼ :: <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over ~~\left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} \ln^i(~~n~~)\right) \cdot (\ln^k(n))~~^s},.</math> :jest zbieżny dla ''s'' > 1. Istotnie, funkcja ''f''(''x'') = ''x'' <sup>- ''s''</sup> jest dodatnia i malejąca na przedziale [1, ∞), więc stosuje się kryterium całkowe: ~~gdzie <math>k\in\mathbb{N}</math>, <math>m>\exp^k(0)</math> jest zbieżny dla <math>s>1</math> i rozbieżny dla <math>0<s\leqslant 1</math>.~~ :: <math>\int\limits_{m}^\infty {{\rm d}x \over x^s} = \int\limits_{m}^\infty {x^{-s}{\rm d}x} = \left[ {x^{-s+1} \over -s+1} \right]_{m}^\infty = \lim_{x \to \infty}~{x^{-s+1} \over -s+1} - {m^{-s+1} \over -s+1} =-\frac{m^{-s+1}}{-s+1}</math>, ▼ ~~Istotnie,~~: ~~dla~~gdy <math>k=-s+1<0</math>, ~~mamy~~czyli gdy <math>s>1</math>.{{odn\|Leja\|1971\|s=276}} : <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over n^s},</math>▼ ~~gdzie <math>m>0</math>. Wyrazy tego szeregu są nieujemne i tworzą ciąg malejący, więc można zastosować kryterium całkowe. Zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności całki~~ ▲: <math>\int\limits_{m}^\infty {{\rm d}x \over x^s} = \int\limits_{m}^\infty {x^{-s}{\rm d}x} = \left[ {x^{-s+1} \over -s+1} \right]_{m}^\infty = \lim_{x \to \infty}~{x^{-s+1} \over -s+1} - {m^{-s+1} \over -s+1} =-\frac{m^{-s+1}}{-s+1}</math>, ~~gdy <math>-s+1<0</math>, czyli gdy <math>s>1</math>.{{odn\|Leja\|1971\|s=276}}~~ ~~W ogólnym przypadku też można zastosować kryterium całkowe, a całka ma postać~~ ~~: <math>\int\limits_{m}^\infty{{\rm d}x \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} \ln^i(x)\right) \cdot (\ln^k(x))^s}.</math>~~ ~~Przez podstawienie <math>y=\ln(x)</math> otrzymujemy (<math>{\rm d}\,y={\rm d}\,x/x</math>)~~ ~~: <math>\int\limits_{\ln(m)}^\infty{{\rm d}\,y \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-2} \ln^i(y)\right) \cdot (\ln^{k-1}(y))^s}</math>,~~ czyli całkę dla <math>k-1</math>. Metodą [[indukcja matematyczna\|indukcji matematycznej]] można więc dowieść, że całki są zbieżne wtedy i tylko wtedy, kiedy <math>s>1</math>. Na mocy kryterium całkowego wynika stąd, że również szeregi spełniają ten warunek. ▲~~Szereg~~* Szereg ▲:: <math>\sum_{n=m2}^\infty \frac{1}{n\cdot (\~~over~~ln n)^s},</math> : jest zbieżny dla ''s'' > 1 i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Istotnie, oznaczając :: <math>f(x) = \frac{1}{x\cdot (\ln x)^s}\quad (x\geqslant 2)</math> : mamy :: <math>\int f(x)\, {\rm d}x = \frac{(\ln x)^{1-s}}{1-s}+C,\quad s\neq 1,</math> :: <math>\int f(x)\, {\rm d}x = \ln(\ln x)+C,\quad s= 1,</math> a stąd całka niewłaściwa <math>{\textstyle \int_2^\infty f(x)\,{\rm d}x}</math> istnieje gdy ''s'' > 1 oraz nie istnieje w przeciwnym przypadku.{{odn\|Leja\|1971\|s=276-277}} {{Przypisy}}

Kryterium całkowe: Różnice pomiędzy wersjami