Inwolucja (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

m
Drobne poprawki redakcyjne: typografia, linkowania etc.
(gramat.: nie wiadowo, do czego odnosiło się to „siebie”)
m (Drobne poprawki redakcyjne: typografia, linkowania etc.)
 
== Przykłady ==
* [[Trywialność (matematyka)|Trywialnym]] przykładem inwolucji jest [[przekształcenie tożsamościowe]]. Inwolucją jest funkcja <math>A^2 \to A^2,</math> czyli [[iloczyn kartezjański|kwadratu kartezjańskiego]] zbioru <math>A</math> w siebie dane wzorem <math>(x, y) \mapsto (y, x);</math> zbiorem jej [[punkt stały|punktów stałych]] jest przekątna <math>\Delta A := \displaystyle\{(x, x)\colon x \in A \displaystyle\}.</math> Wiele inwolucji jest indukowanych przez tę inwolucję, np. [[macierz transponowana|transpozycja macierzy]] (opisana inwolucja jest z kolei indukowana przez [[transpozycja (matematyka)|transpozycję]] ciągu dwuelementowego, tzn. zamiany osi).
* [[Liczba przeciwna|Zmiana znaku]] <math>x \mapsto -x</math> jest inwolucją w dowolnej [[grupa (matematyka)|grupie]] (w notacji [[grupa addytywna|addytywnej]]), a więc [[pierścień (matematyka)|pierścieniu]] (np. [[liczby całkowite|liczb całkowitych]]) czy [[ciało (matematyka)|ciele]] (np. [[liczby wymierne|liczb wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]], [[liczby zespolone|zespolonych]]); [[liczba odwrotna|odwrotność]] <math>x \mapsto 1/x</math> jest inwolucją w grupie [[element odwracalny|elementów odwracalnych]] ([[grupa multiplikatywna|grupie multiplikatywnej ciała]], np. liczb wymiernych, rzeczywistych czy zespolonych różnych od zera). Nietrywialną inwolucją liczb zespolonych jest [[sprzężenie zespolone|sprzężenie]]. W rachunku macierzy inwolucjami są [[macierz transponowana|transpozycja]], [[macierz sprzężona (trywialnie)|sprzężenie]], [[sprzężenie hermitowskie]] (połączenie transpozycji i sprzężenia) oraz [[macierz odwrotna|odwracanie]] macierzy.
*Z punktu widzenia [[algebra|algebry]], a w szczególności [[teoria grup|teorii grup]] zasadniczo inwolucją nazywa się element [[rząd (teoria grup)|rzędu]] dwa (czasami dopuszcza się też element rzędu pierwszego, czyli [[element neutralny]]; wynika to stąd, iż tworzą one [[podgrupa|podgrupę]] [[grupa symetryczna|grupy symetrycznej]] złożonej ze wszystkich bijekcji ustalonego zbioru). W ten sposób [[permutacja]] jest inwolucją wtedy i tylko wtedy, gdy w jej rozkładzie na cykle występują tylko cykle długości 1 i 2; każda permutacja jest złożeniem dwóch inwolucji. [[Grupa Coxetera|Grupy Coxetera]] to grupy [[zbiór generatorów grupy|generowane]] przez inwolucje<ref>Bourbaki. ''Groupes et Algèbres de Lie'', Hermann, Paris, Rozdział 4.1.</ref>.
*W [[geometria|geometrii]] euklidesowej inwolucjami są [[symetria|symetrie]] (m.in. [[symetria płaszczyznowa]], [[symetria osiowa|osiowa]], [[symetria środkowa|środkowa]]) oraz [[inwersja (geometria)|inwersja]]. Inwolucje są obiektem głębokich badań między innymi w topologii rozmaitości; patrz na przykład <ref>S. López de Medrano, ''Involutions on Manifolds'', Springer-Verlag, 1971.</ref>.
*W [[teoria mnogości|teorii zbiorów]] inwolucjami są [[różnica symetryczna zbiorów|różnica symetryczna]] z ustalonym zbiorem czy [[dopełnienie zbioru]] (do przestrzeni), które jest inwolucją także w dowolnej [[algebra Boole'aBoole’a|algebrze Boole'aBoole’a]].
*W informatyce inwolucją jest szyfr [[Rot13]].
*W [[teoria grafów|teorii grafów]] inwolucją na zbiorze [[graf planarny|grafów planarnych]] jest [[graf dualny]].
* [[działanie grupy na zbiorze]]
 
{{przypisyPrzypisy}}
 
[[Kategoria:Teoria grup]]
312 475

edycji