Dwumian Newtona: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m drobne redakcyjne |
rozdzielenie przypisów od uwag |
||
Linia 3:
== Twierdzenie ==
[[Plik:Pascal's triangle 5.svg|thumb|200px|[[Symbol Newtona|Współczynniki dwumianowe]] pojawiają się jako elementy [[trójkąt Pascala|trójkąta Pascala]].]]
Jeśli <math>x,y</math> są dowolnymi elementami dowolnego [[pierścień przemienny|pierścienia przemiennego]]<ref group="uwaga">W ogólności [[łączność (matematyka)|łączność]] pierścienia można zastąpić [[alternatywność|alternatywnością]].</ref> (np. [[liczby całkowite]], [[liczby wymierne|wymierne]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywiste]], [[liczby zespolone|zespolone]]), to każdą naturalną potęgę dwumianu <math>x + y</math> można rozłożyć na sumę postaci
: <math>(x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1} x^{n-1}y + \binom{n}{2} x^{n-2}y^2 + \binom{n}{3}x^{n-3}y^3 + \dots + \binom{n}{n}y^n,</math>
: gdzie <math>\tbinom nk</math> oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.
Linia 41:
: <math>(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}</math>
{{Uwagi}}
{{Przypisy}}
| |||