Funkcja gęstości prawdopodobieństwa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Poprawienie błędu: "gęstość prawdopodobieństwa jest równa modułowi funkcji falowej" na : "gęstość prawdopodobieństwa jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej". |
|||
Linia 1:
{{dopracować|źródła=2013-01}}
'''Funkcja gęstości prawdopodobieństwa''' ( '''gęstość zmiennej losowej''' ) – nieujemna funkcja rzeczywista, określona dla [[rozkład prawdopodobieństwa|rozkładu prawdopodobieństwa]], taka że [[całka]] z tej funkcji, obliczona w odpowiednich granicach, jest równa prawdopodobieństwu wystąpienia danego zdarzenia losowego. Funkcję gęstości definiuje się dla rozkładów prawdopodobieństwa jednowymiarowych i wielowymiarowych. Rozkłady mające gęstość nazywane są ''rozkładami ciągłymi''.
== Definicja formalna ==
Niech <math>P</math> będzie rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni <math>\mathbb{R}^N</math> (w szczególności na prostej rzeczywistej <math>\mathbb{R}</math>).
'''Gęstością rozkładu prawdopodobieństwa''' <math>P</math> nazywa się nieujemną [[Funkcja mierzalna|funkcję borelowską]] <math>f\colon \mathbb{R}^N\to \mathbb{R_+}\cup\{0\}</math>, taką że dla każdego [[Zbiór borelowski|zbioru borelowskiego]] <math>B\subseteq \mathbb{R}^N</math> zachodzi równość:
: <math>P(B)=\int\limits_B f(x) dx</math>
tzn. całka z funkcji <math>f</math> obliczona na zbiorze <math>B</math> jest równa prawdopodobieństwu <math>P(B)</math> przypisanemu zbiorowi <math>B</math>.
W szczególnych przypadkach konieczne jest użycie [[całka Lebesgue'a|całki Lebesgue’a]].
== Unormowanie gęstości ==
Linia 22:
== Gęstość a dystrybuanta - przypadek 1-wymiarowy ==
'''Tw.''' '''3''' (o obliczaniu dystrybuanty)
Załóżmy, że <math>f</math> jest gęstością rozkładu <math>P</math>. Wówczas [[Dystrybuanta|dystybuantę]] <math>F_P</math> rozkładu <math>P</math> można wyznaczyć z gęstości
: <math>F_P(x)\equiv P(\,\,(-\infty, x]\,\,)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt</math>.
Jeśli więc istnieje gęstość, to za jej pomocą można w prosty sposób wyrazić dystrybuantę rozkładu. Jest to przydatne, gdy dystrybuanty nie daje się wyrazić w sposób [[całka elementarna|elementarny]] (np. dla [[rozkład normalny|rozkładu normalnego]]).
'''Tw. 4''' Warunkiem koniecznym i wystarczającym na istnienie gęstości dla danego rozkładu <math>P</math> jest [[Ciągłość bezwzględna|bezwzględna ciągłość]] jego dystrybuanty.
Sama ciągłość nie jest warunkiem wystarczającym – istnieją dystrybuanty ciągłe, które nie mają gęstości (np. [[funkcja Cantora|dystrybuanta Cantora]]).
'''Tw. 5''' Jeśli <math>F</math> jest dystrybuantą, to jest ona prawie wszędzie [[Pochodna|różniczkowalna]] oraz jeśli <math>F^\prime</math> (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.
Linia 39:
== Gęstość sumy zmiennych losowych ==
'''Tw. 7'''
'''a)''' Jeżeli <math>X</math> i <math>Y</math> są [[Zależność zmiennych losowych|niezależnymi zmiennymi losowymi]] oraz przynajmniej jedna ma rozkład ciągły, to ich suma ma rozkład ciągły.
Linia 68:
== Mechanika kwantowa ==
W [[Mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] stan układu fizycznego opisuje się np. przez podanie wzajemnych [[Położenie|położeń]] i [[Pęd (fizyka)|pędów]] poszczególnych części układu. Układy fizyczne uznaje się za identyczne, gdy złożone są z takich samych cząstek, mających odpowiednio takie same wzajemne położenia i pędy. Mechanika klasyczna opiera się tu na założeniu, że położenia i pędy można w zasadzie dowolnie dokładnie zmierzyć. Jednak nie jest to prawdą w przypadku, gdy mamy do czynienia z cząstkami o małych masach. W tym wypadku dokładniejszy opis rzeczywistego zachowania się układów fizycznych daje [[
W mechanice kwantowej z konieczności rezygnuje się z jednoczesnego przypisywania cząstkom położeń i pędów. W zamian za to stan układu fizycznego opisywany jest za pomocą [[funkcja falowa|funkcji falowej]]. Układy fizyczne są uznawane za identyczne, jeśli przypisuje się im identyczne funkcje falowe. Jednak pomiar wielkości mierzalnej (tzw. [[obserwabla|obserwabli]]) przeprowadzany na identycznych układach może prowadzić do różnych wyników. Np. mierząc [[położenie|położenia]], [[Pęd (fizyka)#Pęd w mechanice kwantowej|pędy]], [[poziom energetyczny|energie]] cząstek opisywanych taką samą funkcją falową <math>\psi (r)</math> otrzymamy wyniki o pewnym rozkładzie losowym, przy tym np. gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie <math>r\,</math> jest równa kwadratowi [[Wartość bezwzględna|modułu]] funkcji falowej:
Linia 76:
gdzie <sup>*</sup> oznacza [[liczby zespolone|sprzężenie zespolone]].
W ogólności wyniki każdego pomiaru dokonywanego na identycznych układach są wielowymiarową zmienną losową o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa.
[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]]
| |||