Słaba topologia: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
zmniejsza! rodzinę domknietych -- gapiostwo poprawione. |
Wyjaśnienie (uzupełnienie i rozwinięcie) przykładu. |
||
Linia 5:
jeśli <math>\tau</math> jest (mocną) topologią w <math>X,</math> to słabą topologię oznacza się zwykle symbolem <math>\tau^*.</math> Innym sposobem wprowadzenia tej topologii jest podanie [[baza otoczeń|bazy otoczeń]] zera.
'''Przykład''': rozpatrzmy nieskończony ciąg <math> (e_n)</math> elementów [[przestrzeń Lp|przestrzeni <math> \ell_2</math>]], w którym kolejne elementy <math>\ e_n\ </math> mają na <math> n</math>-tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera. Ciąg ten jest słabo zbieżny do <math>0\in \ell_2</math>. Natomiast względem normy dany ciąg jest rozbieżny (mimo bycia ograniczonym). Dlatego zbiór <math>\ \{e_n:n=1,2,\ldots\}\ </math> jest domknięty w silnej topologii, ale nie w słabej topologii. Z kolei zbiór <math>\ \{O\}\cup {e_n:n=1,2,\ldots\}\ </math> jest domknięty w obu topologiach, ale zwarty tylko w słabej topologii.
Z kolei mocna zbieżność zawsze pociąga słabą. Słaba topologia zwiększa rodzinę zbiorów zwartych i zmniejsza rodzinę zbiorów domkniętych (mówi się wtedy o ''słabej zwartości'', czy ''słabej domkniętości''). Para topologii mocnej i słabej wspólnie stanowi ważne narzędzie analizy funkcjonalnej.
| |||