Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa: Różnice pomiędzy wersjami

m
MalarzBOT: poprawiam link tożsamy z tekstem linka
(szablon)
m (MalarzBOT: poprawiam link tożsamy z tekstem linka)
{{Ogólna teoria względności}}
'''Równanie Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa''' (równanie TOV) – szczególny przypadek [[równaniaRównania Einsteina|równań Einsteina]], jego rozwiązanie przedstawia strukturę sferycznie symetrycznego i statycznego rozkładu materii opisanej danym [[Równanie stanu (termodynamika)|równaniem stanu]]. Stosowane jest przede wszystkim przy modelowaniu budowy [[gwiazdaGwiazda|gwiazd]] o bardzo silnym [[polePole grawitacyjne|polu grawitacyjnym]] (na przykład [[gwiazdaGwiazda neutronowa|gwiazd neutronowych]]).
 
== Założenia ==
::::: <math>ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - e^{\lambda(r)}dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\varphi^2),\, </math>
gdzie standardowo ''t'' jest współrzędną czasową, ''r'' radialną a ''θ'' i ''φ'' kątowymi (odpowiednio, [[Sferyczny układ współrzędnych|zenitalną i azymutalną]]).
Zakładamy także, że materia jest [[lepkośćLepkość|nielepka]], nie [[przewodzeniePrzewodzenie ciepła|przewodzi ciepła]] i nie wykazuje [[ścinanie|napięć ścinających]] tj. [[tensor napięć-energii]] jest taki jak dla [[płynPłyn doskonały|płynu doskonałego]] w [[Ogólna teoria względności|Ogólnej Teorii Względności]]. Biorąc pod uwagę barotropowe [[Równanie stanu (termodynamika)|równanie stanu]] (ciśnienie ''p'' jest funkcją tylko jednej zmiennej, gęstości masy-energii ''ρ''), dostajemy następujący związek z funkcją metryczną ''ν(r)'':
::::: <math>\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{2}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr},</math>
funkcją ''λ(r)'':
 
=== Warunki brzegowe ===
Jeśli równanie opisuje [[gwiazdaGwiazda neutronowa|gwiazdę]] w próżni, do rozwiązania używa się następujących warunków brzegowych:
* znikanie ciśnienia na powierzchni gwiazdy, ''p(R)&nbsp;=&nbsp;0'' (warunek ten wyznacza współrzędną ''r&nbsp;=&nbsp;R'', czyli promień gwiazdy),
* zszywania się rozwiązania dla wnętrza gwiazdy z rozwiązaniem zewnętrznym, opisywanym [[Metryka Schwarzschilda|metryką Schwarzschilda]]:
 
dla ''r≥R'' funkcja metryczna ''e<sup>ν(r)</sup>&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;2GM/rc<sup>2</sup>'', gdzie ''M'' jest całkowitą grawitacyjną masą [[gwiazdaGwiazda neutronowa|gwiazdy]] mierzoną przez odległego obserwatora.
 
=== Masa grawitacyjna, masa właściwa, masa barionowa, energia wiązania dla gwiazdy neutronowej ===
Pamiętając o tym, że element objętości ''dV'' pomiędzy sferami o promieniach ''r'' oraz ''r&nbsp;+&nbsp;dr'' jest równy
::::: <math>dV = \frac{4\pi r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,,</math>
można definiować&nbsp;dwie inne charakterystyczne masy wynikające z równania TOV. '''Masą&nbsp;właściwą''' ''M<sub>p</sub>'' [[gwiazdaGwiazda neutronowa|gwiazdy]] nazywa się całkę gęstości masy-energii po objętości, biorąc pod uwagę lokalne zakrzywienie przestrzeni przez masę&nbsp;''M(r)'',
::::: <math>M_p=M_p(R)=\int_0^{R} \rho dV = 4\pi\int_0^{R} \frac{\rho(r)r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}}\,.</math>
Jako, że
Liczba barionów w objętości gwiazdy jest równa
::::: <math>A_b=4\pi\int_0^{R} \frac{ n_b(r) r^2 dr}{\sqrt{1-2GM(r)/rc^2}} \,,</math>
gdzie ''n<sub>b</sub>(r)'' jest gęstością barionową, tj. liczbą barionów w określonej objętości (zwyczajowo ''[[Femtometr|fm<sup>3</sup>]]''). ''A<sub>b</sub>'' dla [[gwiazdaGwiazda neutronowa|gwiazdy neutronowej]] o typowej masie grawitacyjnej 1,4 [[Masa Słońca|masy Słońca]] jest rzędu 10<sup>57</sup> cząstek.
[[Plik:TOV solution homogeneous star mass radius diagram.png|thumb|450px|Diagram masa-promień dla sferycznej gwiazdy o stałej gęstości 10<sup>15</sup> g/cm<sup>3</sup> (linia czerwona), z zaznaczoną masą maksymalną (czerwona kropka) wynikającą z ograniczenia pochodzącego z rozwiązania równania TOV (niebieska linia).]]
''Masa barionowa'' (zwana również [[masaMasa spoczynkowa|masą spoczynkową]]) jest równa liczbie barionowej ''A<sub>b</sub>'' gwiazdy pomnożonej przez masę [[barion]]u
''m<sub>b</sub>≈[[Nukleony|m<sub>n</sub>]]'':
::::: <math>M_b=m_bA_b\,.</math>
 
== Historia ==
Równanie TOV w postaci przedstawionej powyżej zostało opublikowane w roku [[1939]] w czasopiśmie naukowym "[[Physical Review|"Physical Review"]]" przez [[Robert Oppenheimer|Roberta Oppenheimera]] i [[George Michael Volkoff|Georga M. Volkoffa]] w artykule pt. "On Massive Neutron Cores"<ref>J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff, ''On Massive Neutron Cores'', Phys. Rev. 55, 374 (1939)</ref>, jednak fundamentalne znaczenie mają prace [[Richard Chace Tolman|Richarda C. Tolmana]] z roku 1934, pt.
"Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models"<ref>R. C. Tolman, ''Effect of Inhomogeneity on Cosmological Models'', Proc Natl Acad Sci U S A., 20(3), 169 (1934)</ref> oraz 1939 r., pt. "Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid"<ref>R. C. Tolman, ''Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid'', Phys. Rev. 55, 364 (1939)</ref>, w których przeprowadził analizę sferycznie symetrycznych metryk.
 
3 863 306

edycji