Operacje elementarne: Różnice pomiędzy wersjami

Jeśli układ <math> (V)</math> powstaje z układu <math> (U)</math> w wyniku jednej z powyższych operacji, to za ich pomocą można otrzymać także układ <math> (U)</math> można otrzymać z układu <math> (V)</math> za ich pomocą: efekt zamiany dwóch równań miejscami można znieść zamieniając je jeszcze raz, z kolei odwrócenie trzeciej operacji wymaga mnożenia przez odwrotność danej liczby; jeśli <math> (V)</math> otrzymano z <math> (U)</math> w wyniku dodania do <math> i</math>-tego równania <math> j</math>-tego równania pomnożonego przez ustaloną liczbę, to <math> (U)</math> otrzymuje się z <math> (V)</math> poprzez dodanie do <math> i</math>-tego równania <math> j</math>-tego równania pomnożonego przez [[liczba przeciwna|liczbę przeciwną]] do ustalonej. Dlatego do wykazania równoważności układów wystarczy wykazanie, że ciąg <math> s_i</math> będący rozwiązaniem układu <math> (U)</math> jest również rozwiązaniem <math> (V).</math> Ponieważ dowolne równanie <math> (V)</math> jest postaci <math> aU_i + bU_j,</math> gdzie(jest [[kombinacja liniowa|kombinacją]] <math>U_i</math> oraz <math>U_j</math>), gdzie <math>U_i, U_j</math> są równaniami układu <math> U,</math> zaś <math> a, b</math> są dowolnymi liczbami, to każde rozwiązanie <math> s_i</math> spełniające równania <math> U_i, U_j</math> spełnia również <math> aU_i + bU_j.</math>

|style="padding-bottom: 10px"| Postać macierzy <math> \mathbf E_{ij}(c).</math>

|style="padding-bottom: 10px"| Postać macierzy <math> \mathbf T_{ij}.</math>

| Postać macierzy <math> \mathbf I_i(c).</math>

Operacjom elementarnym na ustalonej macierzy <math> \mathbf A</math> stopnia <math> n</math> odpowiadają macierze konkretnej postaci, nazywane '''macierzami elementarnymi''' – każdą z tych macierzy można uzyskać poprzez wykonanie operacji elementarnej na [[macierz jednostkowa|macierzy jednostkowej]]. [[Mnożenie macierzy]] <math> \mathbf A</math> z lewej strony przez macierz elementarną odpowiada wykonaniu operacji elementarnej na wierszach <math> \mathbf A,</math> z kolei mnożenie prawostronne daje w wyniku macierz powstałą po wykonaniu operacji elementarnej na jej kolumnach. W ten sposób poszczególnym operacjom odpowiadają

* macierz <math> \mathbf E_{ij}(c) = [e_{rs}],</math> gdzie

* macierz <math> \mathbf T_{ij} = [t_{rs}],</math> gdzie

* macierz <math> \mathbf I_i(c) = [i_{rs}],</math> gdzie

Przykładowe macierze elementarne dla operacji elementarnych na macierzach czwartego stopnia przy mnożeniu lewostronnym (działania na wierszach) – pomnożenie trzeciego wiersza przez <math> -2</math> i dodanie do drugiego (macierz <math> \mathbf E_{23}(-2)</math>), zamiana miejscami pierwszego i drugiego wiersza (macierz <math> \mathbf T_{12}</math>), pomnożenie trzeciego wiersza przez <math> 4</math> (macierz <math> \mathbf I_3(4)</math>):

: macierz <math> \mathbf E_{ij}(-c)</math> dla macierzy <math> \mathbf E_{ij}(c),</math>

: macierz <math> \mathbf T_{ij}</math> dla macierzy <math> \mathbf T_{ij},</math>

: macierz <math> \mathbf I_i(1/c)</math> dla macierzy <math> \mathbf I_i(c).</math>

Istnieją trzy rodzaje kwadratowych macierzy elementarnych: [[permutacja#Zapis|macierz permutacji]], [[macierz diagonalna]], [[macierz unipotentna]]. Niekiedy zamiast oznaczeń <math> \mathbf E_{ij}(c),\,\mathbf T_{ij},\,\mathbf I_i(c)</math> stosuje się bardziej zunifikowane symbole, odpowiednio <math> \mathbf E_{ij}(c),\,\mathbf E_{ij},\,\mathbf E_i(c).</math>

Operacje elementarne na wierszach nie zmieniają [[jądro (algebra liniowa)|jądra macierzy]] (co oznacza, że nie zmieniają&nbsp;zbioru rozwiązań opisywanego przez nią układu), zatem zachowują jej [[rząd (algebra liniowa)|rząd wierszowy]], ale zmieniają jej [[przestrzeń kolumnowa|obraz]]. [[Przestrzeń sprzężona (algebra liniowa)|Dualnie]] operacje elementarne na kolumnach zachowują obraz, czyli zachowują rząd kolumnowy, ale zmieniają jądro macierzy. Istota tych operacji tkwi w tym, że [[zbiór generatorów grupy|generują]] one [[pełna grupa liniowa|pełną grupę liniową]] [[macierz odwracalna|macierzy odwracalnych]].

Każdą macierz <math> \mathbf A</math> można przekształcić do [[macierz schodkowa|postaci schodkowej]] mnożąc ją przez [[mnożenie macierzy|iloczyn]] macierzy elementarnych <math> \mathbf E_{ij}(c), \mathbf T_{ij}</math> (tzn. za pomocą pierwszych dwóch operacji elementarnych) oraz do [[macierz schodkowa|postaci schodkowej zredukowanej]] mnożąc ją przez iloczyn macierzy elementarnych <math> \mathbf E_{ij}(c), \mathbf T_{ij}, \mathbf I_i(c)</math> (tzn. za pomocą wszystkich operacji elementarnych) – mnożenie macierzy odpowiada przyłożeniu i składaniu operacji. Spostrzeżenia te wykorzystuje się w [[metoda eliminacji Gaussa|metodzie eliminacji Gaussa]] i jej rozwinięciu – [[metoda eliminacji Gaussa-Jordana|metodzie eliminacji Gaussa-Jordana]].

to na podstawie [[twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)|twierdzenia Cauchy’ego]] dla dowolnej zgodnej macierzy <math> \mathbf A:</math>