Równanie kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 27 bajtów ,  3 lata temu
m
m (Anulowanie wersji 46882985 autora 83.5.45.225 (dyskusja)bez dwójki! bo jest jeszcze dzielenie -b± Δ przez 2a=2 i dwójka się skróci)
m (WP:SK+Bn)
{{Dopracować|uzupełnić|2=historia, bardziej bezpośrednie odwołanie do funkcji kwadratowej (metoda graficzna), ogólniej o rezolwentach Lagrange’a (teraz połączone ze wzorami Viète’a), metody numeryczne (uwarunkowania), wprost o postaci monicznej (a = 1), pełniej o różnych ciałach (w tym charakterystyki 2 i rozszerzeniach; opisanie symbolu pierwiastka w ich kontekście)}}
{{Inne znaczenia|równań kwadratowych i ich rozwiązań|[[funkcja kwadratowa]], gdzie opisano wielomiany kwadratowe w szerszym kontekście}}
[[Plik:Quadratic equation coefficients.png|thumb|350px|[[Wykres (matematyka)|Wykres]] funkcji kwadratowej zmiennej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] przy zmianie różnych współczynników.]]
'''Równanie kwadratowe''' – [[równanie algebraiczne]] z jedną [[niewiadoma|niewiadomą]] w drugiej [[potęgowanie|potędze]] i opcjonalnie niższych. Innymi słowy [[wielomian#Równania wielomianowe|równanie wielomianowe]] drugiego [[stopień wielomianu|stopnia]], czyli równanie postaci
: <math>ax^2 + bx + c = 0,\,</math>
gdzie <math>a, b, c</math> są jego ''współczynnikami'' rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego [[Ciało (matematyka)|ciała]]. Zakłada się, że <math>a \ne 0</math>, dzięki czemu równanie nie degeneruje się do [[równanie liniowe|równania liniowego]]. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: ''kwadratowym'', ''liniowym'' i ''stałym'' (bądź ''wyrazem wolnym'').
 
{{Zobacz też|równanie|wielomian}}
''Rozwiązaniem'' równania kwadratowego
: <math>ax^2 + bx + c = 0\,</math>
nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce <math>x</math> daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w ''postaci iloczynowej'', tzn.
: <math>a(x - x_1)(x - x_2) = 0,\,</math>
dla pewnych liczb <math>x_1, x_2,</math> to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb <math>x_1, x_2,</math> gdyż podstawiona zamiast <math>x</math> sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.
 
W szczególności może być <math>x_1 = x_2,</math> wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest
: <math>a(x - x_1)^2 = 0.\,</math>
 
=== Wyróżnik ===
 
Wyrażenie
: <math>\Delta = b^2 - 4ac\,</math>
nazywa się '''wyróżnikiem''' równania kwadratowego. W szczególności jeżeli <math>\Delta = 0,</math> to
: <math>x_1 = x_2 = \tfrac{-b}{2a}.</math>
; Przykłady
* Równanie
:: <math>-2x^2 + 3x - 1 = 0\,</math>
: ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy
:: <math>3^2 - 4(-2)(-1) = 1 > 0.\,</math>
: Są nimi <math>x_1 = \tfrac{1}{2}</math> oraz <math>x_2 = 1.</math>
* Równanie
:: <math>x^2 + 2x = -4\,</math>
: po uporządkowaniu ma postać
:: <math>x^2 + 2x + 4 = 0.\,</math>
: Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż
:: <math>\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0,\,</math>
: jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ <math>\Delta = -12 = 12i^2,</math> to rozwiązania mają postać
:: <math>x_{1, 2} = -1 \pm \sqrt 3i.\,</math>
* Równanie
:: <math>4x^2 + 4x + 1 = 0\,</math>
: ma jedno rozwiązanie <math>x = -\tfrac{1}{2},</math> gdyż wyróżnik
:: <math>4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0.\,</math>
 
=== Wzory skróconego mnożenia ===
; Przykłady
* Równanie
:: <math>x^2 + 2x + 1 = 0</math>
: można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako
:: <math>(x + 1)^2 = 0,</math>
: wtedy <math>x = -1</math> jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość.
* Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie
:: <math>4x^2 - 1 = 0</math>
: jest tożsame równaniu
:: <math>(2x - 1)(2x + 1) = 0,</math>
 
=== Dopełnianie do kwadratu ===
Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech
: <math>x^2 + bx + d = 0</math>
będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli
* [[równanie sześcienne]]
* [[równanie czwartego stopnia]] ([[równanie czwartego stopnia#Równanie dwukwadratowe|równanie dwukwadratowe]])
* [[okrąg Carlyle'aCarlyle’a]]
 
[[Kategoria:Równania algebraiczne]]