Hamiltonian: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Dodano rozdział "Przykłady" |
Przeredagowano wstęp i zmieniono układ całości na bardziej przejrzysty. |
||
Linia 1:
'''Hamiltonian''' (funkcja [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]]) – funkcja [[współrzędne uogólnione|współrzędnych uogólnionych]] i [[Pęd (fizyka)|pędów uogólnionych]], opisująca układ fizyczny
: <math>H = H\left( q_1, \dots, q_N, p_1, \dots, p_N, t \right)</math>
: gdzieː
Wykorzystując hamiltonian można zapisać m.in. [[równania Hamiltona]] i [[równanie Hamiltona-Jacobiego]]. ▼
:* <math>q_j</math> - [[współrzędne uogólnione]]
:* <math>N</math> - liczba [[Stopień swobody (fizyka)|stopni swobody]]
:* <math>t</math> - czas
▲
W [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest [[operator Hamiltona]].
== Metody otrzymywania funkcji Hamiltona ==
Funkcję Hamiltona
* z wyrażenia na energię całkowitą układu
przy czym należy zastępując prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange'a za pomocą pędów.
== Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układu ==
: <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}(q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)</math>▼
Funkcję Hamiltona
gdzie:▼
* <math>q_j</math> – współrzędna uogólniona,▼
* <math>\dot q_j</math> – prędkość uogólniona,▼
▲* <math>t</math> – czas.
Dla każdej prędkości uogólnionej wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony (tzw. '''pęd kanonicznie sprzężony'''), zdefiniowany jako▼
: <math>p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}</math>▼
W przypadku [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędnych kartezjańskich]] pędy uogólnione odpowiadają zwykłym [[pęd (fizyka)|pędom]]. ▼
W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.▼
▲Hamiltonian można teraz znaleźć z funkcji Lagrange'a za pomocą tzw. '''transformacji Legendre'a'''
: <math>H\left( q_1,..., q_N, p_1,..., p_N, t \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t )</math>▼
przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych w funkcji Lagrange'a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.▼
Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest [[Całka pierwsza|całką pierwszą]].▼
== Przykłady ==▼
▲Funkcję Hamiltona otrzymuje się z wyrażenia na energię całkowitą układu, wyrażając prędkości za pomocą pędów.
=== Punkt materialny ===
Linia 53 ⟶ 37:
Stąd funkcja Hamiltona ma postać
: <math>\mathcal H(x, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 </math>
== Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange'a ==
Funkcję Hamiltona można otrzymać z [[Lagranżjan|funkcji Lagrange'a]]
▲: <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}(q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)</math>
▲gdzie:
* <math>t</math> – czas
▲Dla każdej prędkości uogólnionej <math>q_j</math> wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony <math>p_j </math>(tzw. '''pęd kanonicznie sprzężony'''), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange'a po prędkości uogólnionej <math>\dot q_j</math>
▲: <math>p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}</math>
Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange'a za pomocą tzw. '''transformacji Legendre'a'''
▲: <math>H\left( q_1,..., q_N, p_1,..., p_N, t \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t )</math>
▲przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange'a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.
▲Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest [[Całka pierwsza|całką pierwszą]].
▲1) W przypadku [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędnych kartezjańskich]] pędy uogólnione
2) We [[Układ współrzędnych walcowych|współrzędnych walcowych]] jako jedną z współrzędnych uogólnionych cząstki przyjmuje się kąt; wtedy prędkość uogólniona jest [[Prędkość kątowa|prędkością kątową]], a pęd uogólniony - obliczany jako pochodna funkcji Lagrange'a po prędkości kątowej - okazuje się być [[Moment pędu|momentem pędu]] cząstki.
▲3) W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.
:
== Zobacz też ==
| |||