Twierdzenie o liczbach pierwszych: Różnice pomiędzy wersjami

W pierwszej połowie XX wieku niektórzy matematycy (m.in. [[G. H. Hardy]]) uważali, że istnieje hierarchia metod dowodzenia matematycznego, zależna od rodzaju liczb (całkowite, rzeczywiste, zespolone), które są używane w dowodzie. Twierdzenie o liczbach pierwszych jest "głębokie", w rozumieniu, że wymaga [[analiza zespolona|analizy zespolonej]]<ref name="Goldfeld Historical Perspective">Goldfeld, Dorian (2004). "The elementary proof of the prime number theorem: an historical perspective" (PDF). In Chudnovsky, David; Chudnovsky, Gregory; Nathanson, Melvyn. Number theory (New York, 2003). New York: Springer-Verlag. s. 179–192</ref>. To przekonanie zostało podważone przez dowód twierdzenia o liczbach pierwszych wykorzystujący [[twierdzenie Weinera]]. Nie ma ścisłej i powszechnie akceptowanej definicji "dowodu elementarnego" w teorii liczb. Jedna z definicji mówi, iż jest to dowód, który możnemoże zostać przeprowadzony wykorzystując [[aksjomaty Peano]]. Istnieją twierdzenia w teorii liczb (np. [[twierdzenie Parisa-Harringtona]]), które można udowodnić używając metod arytmetyki drugiego rzędu, ale nie pierwszego rzędu, jednak są one rzadkie.