Funkcja różniczkowalna: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
Niepotrzebna spacja przed kropką.
Dodano motywację wprowadzania pojęcia klasy funkcji.
Linia 13:
 
== Funkcja klasy <math>C^{n}</math> ==
'''Motywacja'''
 
Jeżeli dana funkcja jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to nie oznacza automatycznie, że funkcja pochodna jest ciągła. Jeżeli funkcja pochodna jest ciągła, to o samej funkcji mówi się, że jest klasy <math>C^1</math>, w przeciwnym zaś razie o funkcji mówi się, że jest klasy <math>C^0</math>. Czasem potrzebne jest wymaganie, by pochodna <math>n</math>-tego rzędu była [[Funkcja ciągła|ciągła]] - stąd ogólna definicja funkcji klasy <math>C^n</math>.
 
UwagaUwagi tapowyższa dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność pociąga za sobą automatycznie [[Wzór Taylora#Szereg Taylora|analityczność]].
 
'''Definicja:'''
 
Linia 20 ⟶ 26:
 
'''(3)''' Funkcje klasy <math>C^{\infty}</math> (C-nieskończoność) to funkcje różniczkowalne dowolną liczbę razy. Klasę <math>C^\infty</math> nazywamy też klasą funkcji '''gładkich'''.
 
'''Uwaga:'''
 
Różniczkowalność jest silną własnością, jednakże czasem jest potrzebne wymaganie, były różniczkowalne w sposób [[funkcja ciągła|ciągły]]{{styl}}.
 
Uwaga ta dotyczy funkcji zmiennej rzeczywistej – w przypadku funkcji zmiennej zespolonej różniczkowalność pociąga za sobą automatycznie [[Wzór Taylora#Szereg Taylora|analityczność]].
 
=== Przykłady ===