Wersja z 21:51, 14 sty 2018 edytuj Paweł Ziemian BOT (dyskusja \| edycje) Boty 1 384 060 edycji m Dodaję nagłówek przed Szablon:Uwagi, dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy ← poprzednia edycja		Wersja z 10:45, 1 kwi 2018 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 059 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: '''Dwumian Newtona''' – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także '''wzorem dwumianowym (dwumiennym)''' lub '''wzorem Newtona''', zgodnie z którym [[potęgowanie\|potęgę]] [[dwumian]]u <math>(x + y)^n</math> można rozwinąć w sumę [[jednomian]]ów postaci <math>a x^k y^l.</math>. W każdym z tych jednomianów współczynnik <math>a</math> jest dodatnią [[Liczby całkowite\|liczbą całkowitą]], a wykładniki przy <math>x</math> oraz <math>y</math> sumują się do <math>n.</math>. Współczynniki <math>a</math> przy jednomianach są '''[[Symbol Newtona\|symbolami Newtona]]''' i nazywane są '''współczynnikami dwumianowymi'''. == Twierdzenie == [[Plik:Pascal's triangle 5.svg\|thumb\|200px\|[[Symbol Newtona\|Współczynniki dwumianowe]] pojawiają się jako elementy [[trójkąt Pascala\|trójkąta Pascala]].]] Jeśli <math>x,y</math> są dowolnymi elementami dowolnego [[pierścień przemienny\|pierścienia przemiennego]]<ref group="uwaga">W ogólności [[łączność (matematyka)\|łączność]] pierścienia można zastąpić [[alternatywność\|alternatywnością]].</ref> (np. [[liczby całkowite]], [[liczby wymierne\|wymierne]], [[liczby rzeczywiste\|rzeczywiste]], [[liczby zespolone\|zespolone]]), to każdą naturalną potęgę dwumianu <math>x + y</math> można rozłożyć na sumę postaci : <math>(x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1} x^{n-1}y + \binom{n}{2} x^{n-2}y^2 + \binom{n}{3}x^{n-3}y^3 + \dots + \binom{n}{n}y^n,</math> : gdzie <math>\tbinom nk</math> oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy. Przyjmując <math>x^0=y^0 =1</math> (także w przypadku, gdy <math>x=0</math> lub <math>y=0</math>) można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej : <math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k.</math> ; Uwagi: # W szczególności dla <math>x=1</math> lub <math>y=1</math> dostaniemy wzór na tzw. [[szereg Newtona]] <math>(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \; {n \choose k} \; x^k</math>.▼ # Współczynniki dwumianowe są elementami <math>n+1</math> wiersza w [[trójkąt Pascala\|trójkącie Pascala]].▼ ▲# W szczególności dla <math>x=1</math> lub <math>y=1</math> dostaniemy wzór na tzw. [[szereg Newtona]] <math>(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \; {n \choose k} \; x^k</math> ▲# Współczynniki dwumianowe są elementami <math>n+1</math> wiersza w [[trójkąt Pascala\|trójkącie Pascala]] ; Przykłady: : <math>(x+y)^1=x+y</math> : <math>(x+y)^2=x^2+2xy+y^2</math> Linia 24 ⟶ 23: Dla <math>n = 1</math> jest : <math>(x + y)^1 = x + y = \binom{1}{0} x y^0 + \binom{1}{1} x^0 y = \sum_{k = 0}^{1} \binom{1}{k} x^{1 - k} y^k.</math> Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego <math>n.</math>. Wtedy dla <math>n + 1</math> mamy : <math>\begin{align} (x + y)^{n + 1} & = (x + y)(x + y)^n = (x + y)\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k = \\ & = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^{n - k + 1} y^k + \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^{n - k} y^{k + 1} = \\ & = \binom{n}{0} x^{n+1} + \sum_{k = 1}^n \left[\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\right] x^{n - k + 1} y^k + \binom{n}{n} y^{n+1} = \\ & = \binom{n+1}{0} x^{n+1} + \sum_{k = 1}^n \binom{n+1}{k} x^{(n + 1) - k} y^k + \binom{n+1}{n+1} y^{n+1} = \\ & = \sum_{k = 0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} x^{(n + 1) - k } y^{k} \end{align}</math> co kończy dowód. Linia 41: * w XI w. n.e. – [[matematyka islamska\|matematykowi perskiemu]] [[Omar Chajjam\|Omarowi Chajjamowi]], * w XIII w. – [[matematyka chińska\|matematykowi chińskiemu]] [[Yang Hui]], którzy uzyskali podobne wyniki<ref>{{cytuj stronę \| url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html\| tytuł = ~~<nowiki>~~Historia Matematica Mailing List Archive: Re: <nowiki>[HM] ~~Pascal’s Triangle~~</nowiki> Pascal’s Triangle \| nazwisko = Landau \| imię = James A. \| praca= Archives of Historia Matematica \| data = 1999-05-08 \| data dostępu = 2007-04-13}}</ref>. == Uogólnienie == Korzystając z [[Symbol Newtona#Uogólnienie na liczby rzeczywiste i zespolone\|uogólnionego symbolu Newtona]] możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną) <math>r</math>-tą potęgę sumy <math>x+y,</math>, w której <math>x,y</math> są rzeczywiste, <math>y>0</math> oraz <math>\|\tfrac{x}{y}\|<1</math>: : <math>(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}.</math> == Uwagi == {{Uwagi}} == Przypisy == {{Przypisy}}

Dwumian Newtona: Różnice pomiędzy wersjami