Wersja z 10:50, 1 kwi 2018 edytuj Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 021 edycji m drobne techniczne ← poprzednia edycja		Wersja z 10:56, 1 kwi 2018 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 021 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: <!--{{distinguish\|różniczkowanie w przestrzeniach Frécheta}} --> {{spis treści}} '''Pochodna Frécheta''' – uogólnienie pojęcia [[~~pochodna~~Pochodna funkcji\|pochodnej]] dla [[funkcja\|funkcji]] między [[przestrzeń unormowana\|przestrzeniami unormowanymi]] (w szczególności między [[przestrzeń Banacha\|przestrzeniami Banacha]]) nad tym samym [[ciało (matematyka)\|ciałem]]. Pojęcie pochodnej w sensie Frécheta pozwala formalnie zdefiniować pojęcie [[pochodna funkcjonalna\|pochodnej funkcjonalnej]], które jest szeroko wykorzystywana w [[rachunek wariacyjny\|rachunku wariacyjnym]]. Intuicyjnie, definicja pochodnej Frécheta oparta jest na idei [[aproksymacja liniowa\|aproksymacji liniowej]], to znaczy przybliżania różniczkowanej funkcji przy pomocy prostszego [[przekształcenie liniowe\|przekształcenia liniowego]]. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka [[Maurice Fréchet\|~~Maurice'a~~Maurice’a Frécheta]]. W [[analiza funkcjonalna\|analizie funkcjonalnej]] spotyka się również inną nazwę tego pojęcia – ''silna pochodna'' – będącej antonimem innej nazwy [[pochodna Gâteaux\|pochodnej Gâteaux]], tzw. ''słabej pochodnej''. == Definicja == Niech <math>V</math> i <math>W</math> będą [[przestrzeń unormowana\|przestrzeniami unormowanymi]], <math>U</math> będzie niepustym [[zbiór otwarty\|podzbiorem otwartym]] przestrzeni <math>V.</math>. Funkcję <math>f\colon U \to W</math> nazywa się ''różniczkowalną w sensie Frécheta'' w punkcie <math>x \in U,</math>, jeżeli istnieje taki [[~~operator~~Operator liniowy ograniczony\|ograniczony]] [[przekształcenie liniowe\|operator liniowy]] : <math>\operatorname A_x\colon V \to W,</math> że : <math>\lim_{h \to 0} \frac{\bigl\\|f(x + h) - f(x) - \operatorname A_x(h)\bigr\\|_W}{\\|h\\|_V} = 0.</math> W przypadku, gdy funkcja <math>f</math> jest różniczkowalna w danym punkcie, to operator liniowy <math>\operatorname A_x</math> spełniający powyższy warunek jest wyznaczony jednoznacznie nazywa się '''różniczką Frécheta''' funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x</math> i oznacza <math>\mathrm Df(x).</math> Odwzorowanie <math>\mathrm Df\colon V \to L(V, W)</math> dane wzorem <math>x \mapsto \mathrm Df(x)</math> we wszystkich punktach <math>x,</math> w których <math>f</math> jest różniczkowalna, nazywa się '''pochodną Frécheta''' funkcji <math>f,</math> gdzie <math>L(V, W)</math> oznacza [[przestrzeń funkcyjna\|przestrzeń funkcyjną]] wszystkich ograniczonych operatorów liniowych <math>V \to W.</math> Równoważnie, funkcja <math>f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x</math> wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ograniczony operator liniowy <math>\operatorname A_x\colon V \to W</math> oraz funkcja <math>r_f(x, \cdot)\colon\ U\setminus\{x\} \to Y,</math>, dla których : <math>f(x + h) - f(x) = \operatorname A_x(h) + r_f(x, h),</math> oraz : <math>\lim_{h\to 0}\frac{r_f(x, h)}{\\|h\\|_V} = 0.</math> Funkcję <math>f</math> różniczkowalną w sensie Frécheta w dowolnym punkcie zbioru <math>U</math> i której pochodna <math>\operatorname Df(x)</math> jest funkcją ciągłą w każdym punkcie zbioru <math>U</math> nazywa się ''funkcją różniczkowalną w sposób ciągły'' bądź ''funkcją klasy <math>\operatorname C^1.</math>'' Jeśli <math>f</math> jest [[funkcjonał]]em, to różniczkę <math>\operatorname A_x</math> będącą [[forma liniowa\|funkcjonałem liniowym]] nazywa się czasem '''wariacją''' <math>f</math> w punkcie <math>x</math> i oznacza symbolem <math>\delta f.</math> Linia 26: : <math>V = \bigl\{(x, y) \in \mathbb R^2\colon x = y\}</math> jest [[zbiór domknięty\|domkniętym]] podzbiorem przestrzeni <math>\mathbb R^2.</math>. Gdyby funkcja <math>f,</math>, określona na płaszczyźnie, dana wzorem : <math>f(x, y) = x + y.</math> była różniczkowalna punkcie <math>(x, y),</math>, to wówczas : <math>f(x + h, y + k) - f(x, y) \approx \tfrac{\partial f}{\partial x} h + \tfrac{\partial f}{\partial y} k = h + k.</math> Punkty <math>(x + h, y + k)</math> i <math>(x, y)</math> należą do zbioru <math>V</math> tylko, gdy <math>h = k,</math>, co pociąga za sobą, iż pochodna <math>f</math> w punkcie <math>(x, y)</math> jest postaci <math>[1 + a, 1 - a],</math>, gdzie <math>a</math> jest dowolną liczbą rzeczywistą. == Własności == Linia 43: : <math>\operatorname D(g \circ f)(x) = \operatorname Dg\bigl(f(x)\bigr) \circ \operatorname Df(x).</math> Warunkiem koniecznym istnienia [[Ekstremum funkcji\|ekstremum]] funkcjonału <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> jest <math>\delta f(x_0) = 0.</math> Otóż skoro <math>\varepsilon(x_0, h) \to 0</math> dla <math>\\|h\\| \to 0,</math> to <math>\Delta f(x_0) = f(x_0 + h) - f(x_0)</math> dla dostatecznie małych <math>\\|h\\|</math> jest określony przez znak <math>\delta f.</math> Gdyby <math>\Delta f \ne 0,</math> to z liniowości <math>\delta f</math> wynika, że dla małych <math>\\|h\\|</math> znak <math>\Delta f</math> może być zarówno dodatni, jak i ujemny, tzn. w sąsiedztwie <math>x_0</math> istnieją zarówno wartości mniejsze, jak i większe od <math>f(x_0),</math> a więc <math>f</math> nie może osiągnąć ekstremum w tym punkcie. == Przestrzenie skończeniewymiarowe == ; Przypadek jednowymiarowy {{Zobacz też\|pochodna}} Pojęcie pochodnej Frécheta jest uogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji [[liczby rzeczywiste\|rzeczywistej]]. Ciągłe przekształcenia liniowe <math>\mathbb R \to \mathbb R</math> są postaci <math>y = ax,</math>, gdzie <math>a</math> jest liczbą rzeczywistą. W tym przypadku różniczka <math>A_x(h)</math> pojawiająca się w definicji jest funkcją postaci : <math>h \mapsto f'(x)h.</math> Wyrażenie : <math>\lim_{h \to 0} \frac{\bigl\|f(x + h) - f(x) - ah\bigr\|}{\|h\|} = 0</math> jest równoważne definicji różniczkowalności funkcji <math>f,</math>, tj. : <math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = a,</math> gdzie <math>a</math> jest pochodną funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x.</math>. ; Przypadek wielowymiarowy {{Zobacz też\|macierz Jacobiego}} W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie przekształcenia liniowe są ciągłe (zob. [[Operator liniowy nieciągły\|przekształcenie liniowe nieciągłe]]), więc pochodna Frécheta pokrywa się w tym przypadku z tradycyjnym pojęciem pochodnej funkcji wielu zmiennych. W szczególności, może być ona reprezentowana za pomocą macierzy Jacobiego. Niech <math>\mathrm f\colon U \to \mathbb R^m,</math> będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze <math>U</math> przestrzeni <math>\mathbb R^n.</math> Jeśli <math>\mathrm f</math> jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie <math>\mathrm a \in U,</math> to jej pochodną jest przekształcenie : <math>\operatorname D\mathrm f(\mathrm a)\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m,</math>, gdzie : <math>\operatorname D\mathrm f(\mathrm a)(\mathbf v) = \mathbf J_\mathrm f(\mathrm a)\; \mathbf v,</math> przy czym <math>\mathbf J_\mathrm f(\mathrm a)</math> oznacza macierz Jacobiego funkcji <math>\mathrm f</math> w punkcie <math>\mathrm a.</math> Linia 82: === Przykład zastosowania === Metody [[~~rachunek~~Rachunek różniczkowy i całkowy\|rachunku różniczkowego]] umożliwiają dość sprawne wyznaczanie przybliżonych wartości skomplikowanych wyrażeń. Niech za przykład posłuży : <math>w = \frac{(2{,}03)^4}{(3{,}998)^2}.</math> Mając funkcję <math>f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R</math> daną wzorem : <math>f(x, y) = \frac{x^4}{y^2},</math> wystarczy zauważyć, iż zgodnie z powyższymi uwagami prawdziwy jest wzór : <math>f(x + h, y + k) \approx f(x, y) + \tfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) \cdot h + \tfrac{\partial f}{\partial y}(x, y) \cdot k.</math> Podstawiając <math>(x, y) = (2, 4)</math> oraz <math>(h, k) = (0{,}03, -0{,}002),</math> uzyskuje się : <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 4\tfrac{x^3}{y^2}</math> oraz <math>\tfrac{\partial f}{\partial y}(x, y) = -2\tfrac{x^4}{y^3}.</math> Co ostatecznie daje : <math>\begin{align} w & \approx f(2, 4) + \tfrac{\partial f}{\partial x}(2, 4) \cdot 0{,}03 + \tfrac{\partial f}{\partial y}(2, 4) \cdot (-0{,}002) \\ & = 1 + 2 \cdot 0{,}03 + (-\tfrac{1}{2}) \cdot (-0{,}002) \\ & = 1 + 0{,}06 + 0{,}001 = 1{,}061.\end{align}</math> == Związek z pochodną Gâteaux == {{Zobacz też\|pochodna Gâteaux}} Jeśli <math>f</math> jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie <math>x,</math> to jest ona w nim również [[pochodna Gâteaux\|różniczkowalna w sensie Gâteaux]], a <math>g</math> jest po prostu operatorem liniowym <math>\operatorname A = \operatorname Df(x).</math>. Nie każda funkcja różniczkowalna w sensie Gâteaux jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Przykładowo funkcja <math>f</math> o wartościach rzeczywistych określona wzorem : <math>f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2}, & \mbox{ gdy } (x, y) \ne (0, 0), \\ 0, & \mbox{ gdy } (x, y) = (0, 0) \end{cases}</math> Linia 110: : <math>f(x, y) = \begin{cases}\frac{x^3y}{x^6+y^2}, & \mbox{ gdy } (x, y) \ne (0, 0), \\ 0, & \mbox{ gdy } (x, y) = (0, 0), \end{cases}</math> która jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie <math>(0, 0),</math> a jej pochodna <math>g(a, b) = 0</math> dla wszystkich <math>(a, b)</math> ''jest'' operatorem liniowym. Mimo to <math>f</math> nie jest ciągła w <math>(0, 0),</math> co można zaobserwować, zbiegając do początku układu wzdłuż krzywej <math>(t, t^3),</math> i dlatego <math>f</math> nie może być tam różniczkowalna w sensie Frécheta. Subtelniejszym przykładem jest Linia 121: nie istnieje. Poniższy przykład zachodzi tylko w nieskończenie wielu wymiarach. Niech <math>X</math> będzie przestrzenią Banacha, a <math>\varphi</math> będzie [[~~funkcjonał~~Forma ~~liniowy~~liniowa\|funkcjonałem liniowym]] na <math>X,</math> który jest ''nieciągły'' w <math>x = 0</math> (zob. [[Operator liniowy nieciągły\|przekształcenie liniowe nieciągłe]]). Niech : <math>f(x) = \\|x\\|\varphi(x).</math> Linia 135: : <math>\operatorname Df\colon U \to \operatorname L(V, W)</math> jest funkcją <math>U</math> o wartościach w przestrzeni <math>\operatorname L(V, W),</math>, tzn. w przestrzeni wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z <math>V</math> do <math>W.</math>. Funkcja ta również może mieć pochodną, nazywaną ''pochodną drugiego rzędu'' z funkcji <math>f,</math> i oznaczaną przez <math>\operatorname D^2</math> która, z definicji pochodnej, będzie przekształceniem : <math>\operatorname D^2f\colon U \to \operatorname L\bigl(V, \operatorname L(V, W)\bigr).</math> Często dokonuje się utożsamienia zbioru wartości funkcji <math>\operatorname D^2</math> z przestrzenią <math>\operatorname L^2(V \times V, W),</math>, tzn. przestrzenią wszystkich ciągłych [[przekształcenie dwuliniowe\|przekształceń dwuliniowych]] z <math>V</math> w <math>W..</math>. Dokładniej, element <math>\varphi</math> przestrzeni <math>\operatorname L\bigl(V, \operatorname L(V, W)\bigr)</math> utożsamia się takim elementem <math>\psi</math> należącym do <math>\operatorname L^2(V \times V, W),</math>, że dla dowolnych <math>x</math> i <math>y</math> należących do <math>V</math> spełniony jest warunek : <math>\varphi(x)(y) = \psi(x, y).</math> Linia 149: : <math>\operatorname D^nf\colon U \to \operatorname L^n(V \times V\times \dots \times V, W)</math> przyjmująca wartości w przestrzeni Banacha ciągłych [[przekształcenie wieloliniowe\|przekształceń ''n''-liniowych]] określonych w <math>V</math> i o wartościach w <math>W..</math>. Indukcyjnie, funkcja <math>f</math> jest <math>n+1</math> razy różniczkowalna na <math>U,</math> jeśli jest <math>n</math>-krotnie różniczkowalna w zbiorze <math>U</math> oraz dla każdego <math>x</math> z <math>U</math> istnieje takie ciągłe przekształcenie (''n''+1)-liniowe <math>A,</math>, że istnieje granica : <math>\lim_{h_{n+1} \to 0} \frac{\bigl\\|\operatorname D^nf(x + h_{n+1})(h_1, h_2, \dots, h_n) - \operatorname D^nf(x)(h_1, h_2, \dots, h_n) - \operatorname A(h_1, h_2, \dots, h_n, h_{n+1})\bigr\\|}{\\|h_{n+1}\\|} = 0</math> oraz zbieżność ta jest [[zbieżność jednostajna\|jednostajna]] względem <math>h_1, h_2, \dots, h_n</math> na ograniczonych podzbiorach <math>V.</math>. Operator <math>\operatorname A</math> nazywany jest wówczas pochodną (''n''+1)-rzędu funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x.</math> == Zobacz też == Linia 159: == Bibliografia == * {{cytuj książkę \| nazwisko = Cartan \| imię = Henri \| tytuł = Calcul différentiel \| wydawca = Hermann \| miejsce = Paryż \| id = {{MathSciNet \| id = 0223194}} \| rok = 1967}} * {{cytuj książkę \| nazwisko = Dieudonné \| imię = Jean \| autor link = Jean Dieudonné \| tytuł = Foundations of modern analysis \| wydawca = [[Academic Press]] \| miejsce = Boston, MA \| id = {{MathSciNet \| id = 0349288}} \| rok = 1969}} * {{cytuj książkę \| nazwisko = Munkres \| imię = James R. \| tytuł = Analysis on manifolds \| wydawca = [[Addison-Wesley]] \| isbn = 978-0-201-51035-5 \| id = {{MathSciNet \| id = 1079066}} \| rok = 1991}} * {{cytuj książkę \| nazwisko = Previato \| imię = Emma \| tytuł = Dictionary of applied math for engineers and scientists \| wydawca = [[CRC Press]] \| miejsce = Londyn \| seria = Comprehensive Dictionary of Mathematics \| isbn = 978-1-58488-053-0 \| id={{MathSciNet \| id = 1966695}} \| rok=2003}} == Linki zewnętrzne == * B. A. Frigyik, S. Srivastava i, M. R. Gupta, ''[http://web.archive.org/web/20120207192424/http://www.ee.washington.edu/research/guptalab/publications/functionalDerivativesIntroduction.pdf Introduction to Functional Derivatives]'', UWEE Tech Report 2008-0001. [[Kategoria:Przestrzenie Banacha]]

Pochodna Frécheta: Różnice pomiędzy wersjami