Sygnatura metryki: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 59 bajtów ,  3 lata temu
Dodano bibliografię. Drobne redakcja.
m (Dodano kategorię)
(Dodano bibliografię. Drobne redakcja.)
'''Sygnaturą''' '''(p, q, r)''' '''tensora metrycznego''' g nazywa się zespół liczb wskazujący, ile jest w tensorze metrycznym elementów dodatnich p, ujemnych q oraz zerowych r - jeżeli tensor ten jest sprowadzony do postaci diagonalnej.
Sygnatura metryki
 
Sygnaturę nazywa się '''nieokreśloną''' lub '''mieszaną''', jeżeli obie liczby p oraz q są niezerowe. Sygnaturę nazywa się '''zdegenerowaną''', gdy r jest niezerowe.
Sygnaturą (p, q, r) tensora metrycznego g nazywa się jest to zespół liczb wskazujący, ile jest w tensorze metrycznym elementów dodatnich, ujemnych i zerowych. Liczba ta nie zależy od wyboru bazy, w jakiej tensor jest określony. Sygnaturę często oznacza się podając parę liczb (p, q) co implikuje r = 0 lub przez podanie listy znaków (+, −, −, −) lub (−, +, +, +) odpowiednio dla sygnatur (1, 3) lub (3, 1).[1]
 
== Oznaczenia sygnatury ==
Sygnaturę nazywa się nieokreśloną lub mieszaną, jeżeli obie liczby p oraz q są niezerowe.
Jeżeli r = 0 (co zachodzi typowo), to sygnaturę określa się wybierając z poniższych sposobów:
Sygnaturę nazywa się zdegenerowaną, gdy r jest niezerowe.
Metryka Riemanna ma dodatnio określoną sygnaturą (p, 0).
Metryka Lorentza ma sygnaturę (p, 1), or (1, q).
 
(1) podając parę liczb (p, q)
Dla niezdegenerowanego tensora metrycznego używa się też do oznaczania sygnatury liczby s = p − q, gdzie p oraz q są takie jak wyżej podano, co jest równoważne do wyżej podanej definicji, jeżeli wymiar przestrzeni n = p + q jest ustalony.
Np. s = 1 − 3 = −2 dla (+, −, −, −) oraz s = 3 − 1 = +2 dla (−, +, +, +).
 
(2) podając listę znaków, np.
* (+, −, −, −) dla sygnatury (1, 3)
* (−, +, +, +) dla sygnatury (3, 1)
(3) podając liczbę s = p − q, jeżeli wymiar przestrzeni domyślnie wynosi n = p + q; np.
Np.* s = 1 − 3 = −2 dla (+, −, −, −) oraz s = 3 − 1 = +2 dla (−, +, +, +).
* s = 3 − 1 = +2 dla (−, +, +, +)
 
== Przykłady ==
Metryka* [[Rozmaitość riemannowska|metryka Riemanna]] ma dodatnio określoną sygnaturą (p, 0).
Metryka* metryka Lorentza ma sygnaturę (p, 1), orlub (1, q).
 
== Bibliografia ==
* L. D. Landau, J. M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009.
[[Kategoria: Geometria różniczkowa]]
[[Kategoria: Geometria riemannowska‎ ]]