Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami

Dodane 14 bajtów ,  3 lata temu
m
(taka jest standardowa nazwa sekcji)
m (WP:SK+Bn)
{{Definicja intuicyjna|Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca [[rozwinięcie dziesiętne]].}}
'''Liczby wymierne''' – [[Liczba|liczby]], które można zapisać w postaci [[ilorazDzielenie|ilorazu]]u dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], gdzie druga jest różna od [[zero0 (liczba)|zera]]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą [[ułamek zwykłyUłamek|ułamka zwykłego]]. [[Zbiór]] liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem <math>{\mathbb Q}.</math>. Wobec tego:
: <math>\mathbb Q = \left\{ \frac{m \over }{n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}.</math>.
 
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy '''liczbą niewymierną'''. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. [[liczby całkowite]] i [[liczby naturalne]].
Liczby wymierne tworzą [[ciało ułamków]] [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:
 
Niech w zbiorze [[para uporządkowana|par]] liczb całkowitych <math>(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*,</math>, których następnik jest różny od [[zero0 (liczba)|zera]], dana będzie [[relacja równoważności]]
: <math>(a,b) \sim (c,d)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>ad=bc.</math>.
 
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa [[działanie dwuargumentowe|działania]]
* <math>[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],</math>,
* <math>[(a,b)] \cdot [(c,d)] = [(ac,bd)].</math>.
 
Parę <math>(a, b)</math> zapisuje się zwykle w postaci ułamka <math>\tfrac{a}{b},</math>, bądź jeśli <math>b=1,</math>, to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą <math>a.</math>.
 
== Własności ==
** W arytmetyce teoretycznej ciało liczb wymiernych definiuje się jako [[ciało ułamków]] pierścienia [[liczby całkowite|liczb całkowitych]].
* Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], czyli jest to [[zbiór przeliczalny]] (co oznacza się <math>|\mathbb Q| = \aleph_0</math>).
* Jako podzbiór przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>{\mathbb R},</math>, liczby wymierne są [[zbiór gęsty|gęste]] w <math>{\mathbb R}.</math>.
 
== Zobacz też ==