Hamiltonian: Różnice pomiędzy wersjami

'''Hamiltonian''' (funkcja [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]]) – funkcja [[współrzędne uogólnione|współrzędnych uogólnionych]] i [[Pęd (fizyka)|pędów uogólnionych]], opisująca układ fizyczny

: <math>H = H\left( q_1, \dots, q_N, p_1, \dots, p_N, t \right),</math>

: gdzieː

:* <math>q_j</math> -– [[współrzędne uogólnione]],

:* <math>p_j</math> -– pędy uogólnione,

:* <math>N</math> -– liczba [[Stopień swobody (fizyka)|stopni swobody]],

:* <math>t</math> -– czas.

Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania [[równania Hamiltona|równań Hamiltona]] i [[równanie Hamiltona-Jacobiego]].

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest [[Całka pierwsza|całką pierwszą]].

Funkcję Hamiltona otrzymuje się ,

* z wyrażenia na energię całkowitą układu ,

* z funkcji Lagrange'aLagrange’a (za pomocą tzw. transformacji Legendre'aLegendre’a) ,

przy czym należy zastępując prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange'aLagrange’a za pomocą pędów.

(1) Jeżeli cząstka o masie <math>m</math>porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale <math>V,</math>, to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci

: <math>E=\frac{m\mathbf v^2}{2}+V(\mathbf q).</math>

Ponieważ <math>\mathbf v=\frac{\mathbf p}{m},</math> , to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:

: <math>\mathcal H(t, \mathbf q, \mathbf p)=\frac{\mathbf p^2}{2\,m}+V(\mathbf q).</math>

: <math>E=\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}.</math>

: <math>\mathcal H(t, \mathbf q, \mathbf p)=\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}.</math>

: <math>E = \frac{m v^2}{2} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 .</math>

: <math>\mathcal H(x, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 .</math>

== Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange'aLagrange’a ==

Funkcję Hamiltona można otrzymać z [[Lagranżjan|funkcji Lagrange'aLagrange’a]]

: <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}(q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t),</math>

*: <math>q_j</math> – współrzędna uogólniona,

*: <math>\dot q_j</math> – prędkość uogólniona,

*: <math>t</math> – czas.

Dla każdej prędkości uogólnionej <math>q_j</math> wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony <math>p_j </math>(tzw. '''pęd kanonicznie sprzężony'''), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange'aLagrange’a po prędkości uogólnionej <math>\dot q_j</math>

: <math>p_j = \frac{\partial \mathcal{L} \over }{\partial \dot{q}_j}.</math>

Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange'aLagrange’a za pomocą tzw. '''transformacji LegendreLegendre’a'a'''

: <math>H\left( q_1,..., q_N, p_1,..., p_N, t \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t ),</math>

przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange'aLagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

1) W przypadku [[Układ współrzędnych kartezjańskich|współrzędnych kartezjańskich]] pędy uogólnione są zwykłymi [[pęd (fizyka)|pędami]].

2) We [[Układ współrzędnych walcowych|współrzędnych walcowych]] jako jedną zze współrzędnych uogólnionych cząstki przyjmuje się kąt; wtedy prędkość uogólniona jest [[Prędkość kątowa|prędkością kątową]], a pęd uogólniony -– obliczany jako pochodna funkcji Lagrange'aLagrange’a po prędkości kątowej -– okazuje się być [[Moment pędu|momentem pędu]] cząstki.

* [[Wojciech Królikowski|W. Królikowski]], [[Wojciech Rubinowicz|W. Rubinowicz]],&nbsp; ''Mechanika teoretyczna,'' , PWN, Warszawa 2012.

* L. D. Landau, E. M. Lifszyc, ''Mechanika'', PWN, Warszawa 2011.