Wikipedia

Operator Laplace’a: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Zredagowano całość wydzielając wstęp, definicje, twierdzenia, przykłady.
Dodano bibliografię. Uściślono wzory. Dodano wzór w przypadku 3-wymiarowym.
Linia 33:
 
== Operator Laplace’a w układzie współrzędnych krzywoliniowych ==
'''(1)''' Operator Laplace’a w ''<math>
n
</math>''-wymiarowym [[Współrzędne krzywoliniowe|krzywoliniowym układzie współrzędnych]] ma postać
Linia 40:
\triangle
=
\frac{1}{h_1... h_2\cdots h_n} \sum_{i=1}^n
\frac{\partial}{\partial q_iq^i}▼
\Big(
▲\frac{\partial}{\partial q_i}
\frac{h_1... h_2\cdots h_n}{h_i^2}
\frac{\partial}{\partial q_iq^i}
\Big)
</math>
Linia 55:
:* <math>
h_i
</math> – [[Współrzędne krzywoliniowe#Przykład: Baza ortonormalna wektorów kontrawariantnych|współczynniki Lamego]], tj.

<math>
h_i=\sqrt{g_{ii}}
</math>
:gdzie
:* ''<math>
g_{ii}
</math>'' – wyrazy diagonalne '''[[Tensor metryczny|kowariantnego]]''' [[Tensor metryczny|tensora metrycznego]] układu współrzędnych
 
Zauważmy, że współczynniki Lamego są w ogólności funkcjami współrzędnych (por. przykład poniżej), dlatego nie można ich przesunąć przed pochodną <math>
Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace'a w układzie kartezjańskim.▼
\frac{\partial}{\partial q^i}
▲</math> w powyższym wzorze. Powyższy wzór wyprowadza się wychodząc od definicji operatora Laplace'a w układzie kartezjańskim.
 
==='''(2)''' OperatorW Laplace’aszczególności w układzie współrzędnych3-wymiarowym sferycznych ===mamy
 
Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace'a w [[Układ współrzędnych sferycznych|układzie współrzędnych sferycznych]]▼
: <math>
\triangle
=
\frac{1}{h_1 h_2 h_3} \sum_{i=1}^3
\frac{\partial}{\partial q_i}
\Big(
\frac{h_1 h_2 h_3}{h_i^2}
\frac{\partial}{\partial q_i}
\Big)
</math>
: czyli
: <math>
\triangle
=
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\Bigg[
\frac{\partial}{\partial q_1}
\Big(
\frac{h_2 h_3}{h_1}
\frac{\partial}{\partial q_1}
\Big)
+
\frac{\partial}{\partial q_2}
\Big(
\frac{h_1 h_3}{h_2 }
\frac{\partial}{\partial q_2}
\Big)
+
\frac{\partial}{\partial q_3}
\Big(
\frac{h_1 h_2}{h_3}
\frac{\partial}{\partial q_3}
\Big)
\Bigg]
</math>
 
=== Współrzędne sferyczne ===
▲Z powyższego ogólnego wzoru można otrzymać w szczególności postać operatora Laplace'a w [[Układ współrzędnych sferycznych|układzie współrzędnych sferycznych]] <math>
r, \theta, \varphi
</math>
 
: <math>
Linia 83 ⟶ 128:
</math>
 
=== Współrzędne walcowe ===
===Z Operatorogólnego Laplace’awzoru można otrzymać postać operatora Laplace'a w [[Układ współrzędnych walcowych|układzie współrzędnych walcowych]] ===<math>
\rho, \theta, z
</math>
 
: <math>\Delta
Linia 105 ⟶ 153:
\end{cases}</math>
 
TensorKowariantny tensor metryczny ma postać (patrz: [[Tensor metryczny#Przykłady tensorów metrycznych|tensor metryczny- przykłady]])
 
: <math>g_{ij} = \begin{pmatrix}
Linia 121 ⟶ 169:
\end{cases}</math>
 
Wstawiając powyższe współczynniki Lamego do ogólnego wzoru na laplasjan w <math>n3</math>-wymiarowym krzywoliniowym układzie współrzędnych ( przyjmując dla <math>n=3</math>) i wykonując różniczkowanie otrzymuje się szukany wzór
 
: <math>
\triangle
=
\frac{1}{r^2}
\left(
\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r}
+
+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}▼
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}
+
▲+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \theta} \sin\theta \frac{\partial}{\partial \thetavarphi^2}
\right)
 
Linia 170 ⟶ 224:
* [[zagadnienie własne dla operatora Laplace'a]]
* [[operator nabla w różnych układach współrzędnych]]
 
== Bibliografia ==
 
* F. W. Byron, R. W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Warszawa PWN 1975, Tom 1.
 
{{Operatory różniczkowe}}
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Operator_Laplace’a”