Zbieżność punktowa: Różnice pomiędzy wersjami

* Niech <math>F\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> będzie funkcją [[pochodnaPochodna funkcji|różniczkowalną]], a <math>f</math> będzie jej [[pochodnaPochodna funkcji|pochodną]]. Wówczas można znaleźć funkcje ciągłe <math>f_n\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> dla <math>n \in \mathbb N</math> takie, że ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f.</math>.

* Jeśli <math>f_n, g_n\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> oraz ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f,</math>, a ciąg <math>(g_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>g</math> oraz <math>\alpha, \beta \in \mathbb R,</math>, to

*: ciąg <math>(\alpha \cdot f_n + \beta \cdot g_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>\alpha \cdot f + \beta \cdot g,</math>,

*: ciąg <math>(f_n \cdot g_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f \cdot g,</math>,

*: jeśli dodatkowo <math>g_n(x) \ne 0 \ne g(x)</math> dla wszystkich <math>x \in \mathbb R,</math>, to ciąg <math>\left(\frac{f_n \over }{g_n}\right)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f \over frac{f}{g}.</math>.

* Jeśli <math>f_n\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> (dla <math>n \in \mathbb N</math>) są funkcjami ciągłymi zbieżnymi punktowo do funkcji <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R,</math>, to <math>f</math> jest [[funkcja mierzalna|funkcją mierzalną]] względem [[przestrzeń mierzalna|σ-ciała]] zbiorów [[zbiór borelowski|borelowskich]] (zob. [[#Klasy Baire'a|dalej]]).

* '''Twierdzenie [[René-Louis Baire|Baire’a]]''': Jeśli <math>X,Y</math> są przestrzeniami metrycznymi, <math>f_n\colon X \to Y</math> (dla <math>n \in \mathbb N</math>) są funkcjami ciągłymi, oraz ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f\colon X \to Y,</math>, to zbiór

* Z '''[[twierdzenie Jegorowa|twierdzenia Jegorowa]]''' wynika, że jeśli <math>f_n\colon [0,1] \to \mathbb R</math> są funkcjami mierzalnymi w sensie [[Miara Lebesgue’a|miary Lebesgue’a]] i ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb N}</math> jest zbieżny punktowo do funkcji <math>f\colon [0,1] \to \mathbb R,</math> to dla każdego dodatniego <math>\varepsilon>0</math> można wybrać zbiór <math>E \subseteq {[0;1]}</math> taki, że <math>\lambda(E)>1-\varepsilon</math> oraz ciąg <math>(f_n|_E)_{n \in \mathbb N}</math> jest [[zbieżność jednostajna|zbieżny jednostajnie]] do funkcji <math>f|_E.</math>.

Zbieżność punktowa ciągu funkcji jest jednym z narzędzi używanych do badań struktury ''porządnych'' funkcji pomiędzy [[przestrzeń polska|przestrzeniami polskimi]]. Można się umówić, że funkcje ciągłe są ''bardzo porządne'', ich granice punktowe też są porządne (choć mniej), granice punktowe tychżesz granic są troszkę mniej ''porządne'' itd. Tak zasugerowany kierunek badań ''porządnych'' funkcji z [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] <math>\mathbb R^n</math> w [[liczby rzeczywiste]] <math>\mathbb R</math> był zapoczątkowany przez [[Francuzi|francuskiego]] matematyka [[René-Louis Baire|René-Louisa Baire’a]] w [[1899]]<ref>Baire, R.: ''Sur les fonctions de variables réelles''. „Annali di Mat.” (3) 3 (1899), s. 1-1231–123.</ref>. Tematyka ta była rozwinięta przez [[Henri Lebesgue|Henri Lebesgue’a]]'a w [[1905]]<ref>Lebesgue, H.: ''Sur les fonctions représentables analytiquement''. „Journ. de Math.” (6) 1 (1905), s. 139-216139–216.</ref>. Polski matematyk, [[Stefan Banach]], uogólnił te rozważania na przypadek przestrzeni polskich w [[1931]]<ref>Banach, S.: ''Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen''. „[[Fundamenta Mathematicae]]” 17 (1931), s. 283-295283–295.</ref>.

* Zauważmy że funkcje ciągłe to dokładnie funkcje <math>\Sigma^0_1</math>-mierzalne. Można sprawdzić, że <math>f\colon X \to Y</math> jest borelowsko mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy <math>f</math> jest <math>\Sigma^0_\xi</math>-mierzalna dla pewnego <math>\xi<\omega_1.</math>.

*: <math>f</math> jest klasy Baire’a <math>\xi,</math>, jeśli nie jest ona żadnej klasy <math>\zeta;</math>; dla <math>\zeta<\xi,</math>, ale jest granicą punktową pewnego ciągu funkcji <math>(f_n)_{n \in \mathbb N},</math>, gdzie każda <math>f_n</math> jest klasy Baire’a <math>\zeta_n<\xi.</math>.

* Okazuje się, że jeśli <math>f\colon X \to Y</math> jest klasy Baire’a <math>\xi,</math>, to jest ona <math>\Sigma^0_{\xi+1}</math>-mierzalna. I na odwrót, jeśli <math>f\colon X \to Y</math> jest <math>\Sigma^0_{\xi+1}</math>-mierzalna, to jest ona klasy Baire’a <math>\zeta</math> dla pewnego <math>\zeta \leqslant \xi.</math>.

* {{cytuj książkę |nazwisko= Rudnicki|imię= Ryszard|autor link= |tytuł= Wykłady z analizy matematycznej|rok= 2001|miesiąc= |wydawca= [[Wydawnictwo Naukowe PWN]]|miejsce= Warszawa|isbn = 83-01-13554-9|rozdział=}}