Rozmaitość różniczkowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Dodano link Znaczniki: VisualEditor Z urządzenia mobilnego Z wersji mobilnej (przeglądarkowej) |
Redakcja wstępu, dodanie grafiki, bibliografii, zobacz to. |
||
Linia 1:
{{Integracja|rozmaitość różniczkowalna}}
{{Integracja|rozmaitość gładka}}<figure class="mw-default-size mw-halign-right" data-ve-attributes="{"typeof":"mw:Image/Frame"}">[https://en.wikipedia.org/wiki/File:Nondifferentiable_atlas.png <img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/Nondifferentiable_atlas.png" width="328" height="167" resource="./File:Nondifferentiable_atlas.png" data-file-width="328" data-file-height="167" data-file-type="bitmap" data-ve-attributes="{"resource":"./File:Nondifferentiable_atlas.png"}" />]<figcaption href="Kategoria:Artykuły do zintegrowania">('''1''') Przykład wprowadzenia '''rozmaitości różniczkowej klasy <math>C^0</math>''' na sferze: mapy tworzące tę rozmaitość zawierają '''linie współrzędnych,''' które są krzywymi w ogólności '''niegładkimi''' (na mapie środkowej i z prawej strony [[Zwrotnik (geografia)|Zwrotnik Raka]] jest krzywą gładką, ale na mapie z lewej ma ostre zagięcie - ta ostatnia krzywa nie ma pochodnej w punkcie zagięcia).
{{Integracja|rozmaitość gładka}}▼
'''Rozmaitość różniczkowa (rozmaitość różniczkowalna)''' – [[Rozmaitość|rozmaitość topologiczna]], którą można przedstawić w postaci sumy otwartych podzbiorów (niekoniecznie rozłącznych), przy czym każdy punkt poszczególnych podzbiorów da się opisać za pomocą [[Współrzędne uogólnione|współrzędnych uogólnionych]] będących funkcjami co najmniej [[Funkcja różniczkowalna#Funkcja klasy|klasy]] <math>C^1</math>, tj. posiadających ciągłe pochodne w każdym punkcie tego podzbioru. ▼
('''2''') Aby rozmaitość różniczkowa była '''klasy <math>C^1</math>''' (lub wyższej) trzeba wprowadzić na mapach [[współrzędne krzywoliniowe]], których krzywe współrzędnych są krzywymi gładkim.
▲</figcaption></figure>'''Rozmaitość
'''Rozmaitość różniczkowa''' to rozmaitość różniczkowalna, w której zdefiniowano konkretny rodzaj współrzędnych uogólnionych. Przy tym, jeżeli funkcje definiujące współrzędne są [[Funkcja różniczkowalna#Funkcja klasy|klasy]] conajmniej <math>C^1</math>, tj. posiadające ciągłe pochodne w każdym punkcie, to w rozmaitości można wykonywać operacje różniczkowe. Dzięki temu możliwe jest wprowadzenie kanonicznych lokalnych baz wektorów (tj. baz wektorów stycznych do linii współrzędnych) i obliczanie [[Gradient (matematyka)|gradientu]], [[Dywergencja|dywergencji]], [[Rotacja|rotacji]] na [[Pole tensorowe|polach tensorowych]] - [[Pole skalarne|skalarnych]], [[Pole wektorowe|wektorowych]], itd.).
Funkcje definiujące współrzędne uogólnione na poszczególnych częściach rozmaitości dokonują jej odwzorowania w przestrzeń rzeczywistą o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości. Każde z tych odwzorowań wraz z podzbiorem, na którym jest określone, nazywa się '''mapą''' (w analogii do map powierzchni Ziemi). Zbiór map nazywa się '''atlasem'''.
Dopuszczenie istnienia wielu map dla danej rozmaitości wynika stąd, że wielu rozmaitości nie da się opisać za pomocą jednej mapy. Np. dla [[Sfera|sfery]] nie istnieje globalny układ współrzędnych, ale można ją odwzorować za pomocą dwóch częściowo pokrywających się map, na których wprowadza się [[Układ współrzędnych sferycznych|współrzędne sferyczne]] (linie współrzędnych są wtedy funkcjami klasy <math>C^{\infty}</math>).
Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w [[Szczególna teoria względności|szczególnej]] i [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej [[Czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]], która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. fundamentalny [[tensor metryczny]]).
== Rozmaitość różniczkowa klasy <math>C^1</math> ==
'''Definicja
[[Zbiór]] <math>M \subseteq \mathbb R^N</math> nazywa się '''rozmaitością różniczkową'''
* [[homeomorfizm]] <math>\alpha: (U \cap M) \to V</math> taki, że odwzorowanie <math>\alpha^{-1}: V \to U \cap M</math> jest klasy <math>C^1</math> i [[różniczka]] <math>D\alpha^{-1}(x)</math> jest [[funkcja różnowartościowa|iniekcją]] dla każdego <math>x \in V</math>.▼
▲* istnieje [[homeomorfizm]] <math>\
'''Definicja (mapy, parametryzacji)'''
Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa '''uogólnionym dyfeomorfizmem''' lub po prostu [[dyfeomorfizm|dyfeomorfizmem,]] rozszerzając w ten sposób jego definicję.▼
▲Funkcję <math>\phi</math> nazywamy [[mapa (matematyka)|mapą]] rozmaitości, zaś funkcję odwrotną <math>\phi^{-1}</math> [[Równanie parametryczne|parametryzacją]] otocznia <math>U</math>.<ref>Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa '''uogólnionym dyfeomorfizmem''' lub po prostu [[
== Rozmaitości różniczkowe klasy <math>C^0</math>, <math>C^n</math> oraz <math>C^\omega</math> ==
Linia 22 ⟶ 31:
* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^n</math>''' nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb N\cup \{\infty\}</math>.
* '''Rozmaitością klasy <math>C^\omega</math>''' nazywa się rozmaitość analityczną.
== Zobacz też ==
'''Pojęcia ogólne'''
* [[rozmaitość różniczkowalna]]
* [[rozmaitość riemannowska]]
* [[rozmaitość pseudoriemannowska]]
* [[współrzędne uogólnione]]
'''Operacje różniczkowe'''
* [[dywergencja]]
* [[Gradient (matematyka)|gradient]]
* [[rotacja]]
* [[Operator Laplace’a|Laplasjan]]
'''Inne'''
* [[wektor styczny]]
* [[wektor normalny]]
== Bibliografia ==
*T. Trajdos: ''Matematyka część III''. Warszawa: PWN, 1993. ISBN 83-204-1547-0.
[[Kategoria:Topologia]]
[[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]]
| |||