Rozmaitość różniczkowa: Różnice pomiędzy wersjami

Uściślenie definicji rozmaitości
m (drobne techniczne)
(Uściślenie definicji rozmaitości)
Wprowadzenie struktury rozmaitości różniczkowej ma duże znaczenie np. w fizyce: w [[Szczególna teoria względności|szczególnej]] i [[Ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]] czas i przestrzeń modeluje się za pomocą 4-wymiarowej [[Czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]], która jest rozmaitością różniczkową (przy czym dodatkowo określa się geometrię czasoprzestrzeni definiując tzw. fundamentalny [[tensor metryczny]]).
 
'''== Definicja rozmaitości''' różniczkowej ==
== Rozmaitość różniczkowa klasy <math>C^1</math> ==
Przestrzeń topologiczną <math>\mathbb{X} </math> nazywamy '''rozmaitością różniczkową <math>n </math>-wymiarową''', jeśli
'''Definicja rozmaitości'''
 
[[Zbiór]]* dla każdego punktu <math>M x\subseteqin \mathbb R^N{X}</math> nazywaistnieje sięzawierające '''rozmaitościągo różniczkową'''otwarte klasyi <math>C^1</math>spójne i wymiaruotoczenie <math>n</math>U <math>0\leqsubset n\leq Nmathbb{X}</math>, gdy:
* istnieje [[homeomorfizm]] <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> tego otoczenia <math>U\ </math>na otwarty zbiór <math>\phi(U)\ </math> przestrzeni wektorowej n-wymiarowej <math>\mathbb{R}^{n}</math> nad ciałem <math>\mathbb{R}</math> liczb rzeczywistych.
 
== Mapa, atlas, klasa rozmaitości, atlas zupełny ==
* dla każdego punktu <math>p \in M</math> istnieje w <math>\mathbb R^N</math> [[zbiór otwarty|otwarte]] [[otoczenie (matematyka)|otoczenie]] <math>U </math> oraz zbiór otwarty <math>V \subseteq \mathbb R^n</math> i
Definicje:
* istnieje [[homeomorfizm]] <math>\phi: (U \cap M) \to V</math> taki, że odwzorowanie <math>\phi^{-1}: V \to U \cap M</math> jest klasy <math>C^1</math> i [[różniczka]] <math>D\alpha^{-1}(x)</math> jest [[funkcja różnowartościowa|iniekcją]] dla każdego <math>x \in V</math>.
 
('''a''') Homeomorfizm <math>\phi \colon U \to \phi(U)</math> nazywamy '''mapą''' rozmaitości <math>\mathbb{X} </math>.
'''Definicja (mapy, parametryzacji)'''
 
('''b''') Rodzina <math>\Phi=\{\phi_l\}_{l \in I}</math> map nazywa się '''atlasem''' rozmaitości <math>\mathbb{X} </math>, gdy dziedziny <math>U_l\ </math> homeomorfizmów <math>\phi_l\ </math> pokrywają rozmaitość <math>\mathbb{X} </math>, tj.{{wzór|<math>\mathbb{X}=\bigcup_{l \in I}U_l.</math>|1}}('''c''') Jeżeli homomorfizmy są klasy <math>C^k</math>, to rozmaitość nazywa się '''rozmaitością różniczkową klasy''' <math>C^k</math>.
Funkcję <math>\phi</math> nazywamy [[mapa (matematyka)|mapą]] rozmaitości, zaś funkcję odwrotną <math>\phi^{-1}</math> [[Równanie parametryczne|parametryzacją]] otocznia <math>U</math>.<ref>Część autorów, w tym Andrzej Birkholc w swej "Analizie wielu zmiennych" homeomorfizm o powyższych własnościach nazywa '''uogólnionym dyfeomorfizmem''' lub po prostu [[Dyfeomorfizm|dyfeomorfizmem,]] rozszerzając w ten sposób jego definicję.</ref>
 
('''d''') '''Atlasem zupełnym (maksymalnym)''' klasy <math>C^k</math> lub <math>C^k</math>- strukturą na rozmaitości <math>\mathbb{X} </math> nazywa się największy spośród atlasów klasy <math>C^k</math>na <math>\mathbb{X} </math>, tzn. zawierający w sensie mnogościowym wszystkie atlasy klasy <math>C^k</math>.
 
== Rozmaitości różniczkowe klasy <math>C^0</math>, <math>C^n</math> oraz <math>C^\omega</math> ==
W definicji rozmaitości można zażądać wyższejodpowiednio gładkościwysokiej rozmaitościgładkości poprzez żądanie, by funkcjafunkcje byłatworzące niemapy klasybyły <math>C^1</math>odpowiednio alewysokiej wyższejklasy. Wprowadza się przy tym definicje:
 
* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^0</math>''' nazywa się [[Rozmaitość topologiczna|rozmaitość topologiczną]], która nie posiada map klasy <math>C^1</math>.
* '''Rozmaitością różniczkową klasy <math>C^n</math>''' nazywa się rozmaitość, której mapa jest funkcją klasy <math>C^n</math>, gdzie <math>n \in \mathbb N\cup \{\infty\}</math>.