Rozmaitość różniczkowalna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Dodano "Zobacz też" |
mNie podano opisu zmian |
||
Linia 1:
{{Integracja|rozmaitość gładka}}▼
{{Integracja|rozmaitość różniczkowa}}
Linia 6 ⟶ 5:
<math>\mathbb{R}^{n}</math> nad ciałem <math>\mathbb{R}</math> liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math>.
Rodzina <math>\Phi=\{\phi_l\}_{l \in I}</math> map nazywa się atlasem rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math>,
gdy dziedziny <math>U_l\ </math> homeomorfizmów <math>\phi_l\ </math> pokrywają rozmaitość <math>\mathbb{X}^{n}</math>:{{wzór|<math>\mathbb{X}^{n}=\bigcup_{l \in I}U_l.</math>|1}}
Zbiór wszystkich map rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}</math> nazywamy ''atlasem zupełnym '' <math>\Phi_0\ </math> rozmaitości <math>\mathbb{X}^{n}\ </math>.
Zawsze będziemy zakładali, że dla <math>l\neq\chi</math> również
Linia 24 ⟶ 22:
<math>U_l\cap U_\chi\neq\emptyset</math>. Wtedy punktowi <math>x\in U_l\cap U_\chi</math> odpowiadają współrzędne <math>x^i(x)\ </math>
w mapie <math>\phi_l\ </math> oraz <math>x^{i'}(x)\ </math> w mapie <math>\phi_\chi\ </math>.
Oba te układy współrzędnych na przekroju <math>U_l\cap U_\chi\ </math> wzajemnie wiąże ''przekształcenie współrzędnych'':{{wzór|<math>\phi_{\chi l}\colon (x^i)\in \phi_l (U_l \cap U_\chi) \to (x^{i'})=\phi_\chi\circ \phi_l^{-1}(x^i)\in\phi_\chi(U_l \cap U_\chi).</math>|3}}
Samo <math>\phi_{\chi l}\ </math> jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math>.
Przechodząc do współrzędnych <math>\mathbb{R}^n</math> w bazie <math>a_i\ </math> zapisujemy <math>\phi_{\chi l}\ </math> za pomocą układu
<math>n\ </math> funkcji rzeczywistych <math>n\ </math> zmiennych{{wzór|<math>x^{i'}=x^{i'}(x^i).\ </math>|4}}
Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych <math>\{\phi_{\chi l}\}\ </math>, dla którego zachodzi
{{wzór|<math>\phi_{l \chi}=\phi_{\chi l}^{-1},\qquad U_l \cap U_\chi \neq\emptyset),</math>|5}}
Linia 40 ⟶ 36:
Zatem, każdej funkcji rzeczywistej <math>f</math> odpowiada rodzina <math>\{f_l\}_{l\in I}\ </math> jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina <math>\{f_l\}_{l\in I}\ </math>
funkcji rzeczywistych <math>n\ </math> zmiennych rzeczywistych <math>(x^i)\in \phi_l(U_l)\ </math>, dla której zachodzi {{LinkWzór|7}}, wtedy przyjmując <math>f(x)=f_l\circ \phi_l(x)\ </math>,
<math>x\in U_l\ </math> otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości <math>\mathbb{X}^n\ </math>. Niech <math>x\in U_l \cap U_\chi\ </math>, wtedy na mocy {{LinkWzór|3}}, {{LinkWzór|8}} będzie{{wzór|<math>f_\chi\circ\phi_\chi=f_l\circ\phi_{l \chi}\circ\phi_\chi=f_l\circ\phi_l </math>|9}}
tak, że definicja funkcji <math>f(x)\ </math> nie zależy od wyboru mapy <math>\phi_l\ </math> <math>(x\in U_l)\ </math>.
Zauważmy od razu <math>f\ </math> ''jest ciągła na <math>\mathbb{X}^n\ </math> wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia <math>f_l\ </math> w mapach są funkcjami ciągłymi.''
Linia 60 ⟶ 55:
== Zobacz też ==
* [[rozmaitość różniczkowa]]
[[Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy]]
[[Kategoria:Topologia]]
| |||