Liczba przeciwna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 1:
'''Liczba przeciwna
:<math>a+(-a)=0\;</math>▼
gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].▼
▲:'''<math>a+(-a)=0\;</math>'''
Przykład:▼
* liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3▼
▲'''gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].'''
W szczególności:▼
* liczbą przeciwną do zera jest zero.▼
* liczbą przeciwną do przeciwnej do ''x'' jest liczba ''x''.▼
▲'''Przykład:'''
W zbiorach liczb [[liczby całkowite|całkowitych]], [[liczby wymierne|wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[liczby zespolone|zespolonych]] dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. [[grupa (matematyka)|grup]] – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.▼
▲* '''liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3'''
W zbiorach liczb [[liczby naturalne|naturalnych]], oraz w [[klasa (matematyka)|klasach]] [[liczby kardynalne|liczb kardynalnych]] i [[liczby porządkowe|porządkowych]] nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w [[liczby nadrzeczywiste|liczbach nadrzeczywistych]].▼
▲'''W szczególności:'''
== Uogólnienie na grupy uporządkowane ==▼
Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej.▼
▲* '''liczbą przeciwną do zera jest zero.'''
▲* '''liczbą przeciwną do przeciwnej do ''x'' jest liczba ''x''.'''
:<math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \and c + a \leqslant c + b)</math>▼
* elementy dla których <math>a \leqslant 0</math>, nazywamy niedodatnimi▼
* elementy dla których <math>0 \leqslant a</math>, nazywamy nieujemnymi▼
* elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi▼
* elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi▼
Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).▼
▲'''W zbiorach liczb [[liczby całkowite|całkowitych]], [[liczby wymierne|wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[liczby zespolone|zespolonych]] dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. [[grupa (matematyka)|grup]] – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.'''
Wówczas, jak łatwo sprawdzić:▼
* element przeciwny do dodatniego jest ujemny▼
* element przeciwny do ujemnego jest dodatni▼
▲'''W zbiorach liczb [[liczby naturalne|naturalnych]], oraz w [[klasa (matematyka)|klasach]] [[liczby kardynalne|liczb kardynalnych]] i [[liczby porządkowe|porządkowych]] nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w [[liczby nadrzeczywiste|liczbach nadrzeczywistych]].'''
Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem [[arytmetyka modulo|modulo]] n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.▼
▲== '''Uogólnienie na grupy uporządkowane''' ==
▲'''Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej.'''
'''Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający'''
▲:'''<math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \and c + a \leqslant c + b)</math>'''
'''to'''
▲* '''elementy dla których <math>0 \leqslant a</math>, nazywamy nieujemnymi'''
▲* '''elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi'''
▲* '''elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi'''
▲'''Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).'''
▲'''Wówczas, jak łatwo sprawdzić:'''
▲* '''element przeciwny do dodatniego jest ujemny'''
▲* '''element przeciwny do ujemnego jest dodatni'''
▲'''Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem [[arytmetyka modulo|modulo]] n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych
[[Kategoria:Arytmetyka]]
| |||