Liczba przeciwna: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 418 bajtów ,  3 lata temu
brak opisu edycji
m (Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy)
Nie podano opisu zmian
'''Liczba przeciwna''' do danej liczby <math>a,\;</math> to taka liczba <math>-a,\;</math> że zachodzi:'''
:<math>a+(-a)=0\;</math>
gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].
 
:'''<math>a+(-a)=0\;</math>'''
Przykład:
* liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3
 
'''gdzie <math>0\;</math> jest [[element neutralny|elementem zerowym]] działania [[dodawanie|dodawania]].'''
W szczególności:
* liczbą przeciwną do zera jest zero.
* liczbą przeciwną do przeciwnej do ''x'' jest liczba ''x''.
 
'''Przykład:'''
W zbiorach liczb [[liczby całkowite|całkowitych]], [[liczby wymierne|wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[liczby zespolone|zespolonych]] dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. [[grupa (matematyka)|grup]] – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.
 
* '''liczbą przeciwną do liczby 3 jest liczba -3'''
W zbiorach liczb [[liczby naturalne|naturalnych]], oraz w [[klasa (matematyka)|klasach]] [[liczby kardynalne|liczb kardynalnych]] i [[liczby porządkowe|porządkowych]] nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w [[liczby nadrzeczywiste|liczbach nadrzeczywistych]].
 
'''W szczególności:'''
== Uogólnienie na grupy uporządkowane ==
Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej.
 
* '''liczbą przeciwną do zera jest zero.'''
Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/OrderedGroup.html PlanetMath: ordered group<!-- Tytuł wygenerowany przez bota -->]</ref><ref>{{Cytuj | url=http://books.google.com/books?id=Nmj7LtsOT0sC&pg=PA9&dq=%22ordered+group%22&lr= | tytuł=Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules - V. Arnautov, S. Glavatsky, Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev - Google Livres<!-- Tytuł wygenerowany przez bota --> | opublikowany=books.google.com | data dostępu=2017-11-24}}</ref>
* '''liczbą przeciwną do przeciwnej do ''x'' jest liczba ''x''.'''
:<math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \and c + a \leqslant c + b)</math>
to
* elementy dla których <math>a \leqslant 0</math>, nazywamy niedodatnimi
* elementy dla których <math>0 \leqslant a</math>, nazywamy nieujemnymi
* elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi
* elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi
Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).
 
'''W zbiorach liczb [[liczby całkowite|całkowitych]], [[liczby wymierne|wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[liczby zespolone|zespolonych]] dla każdej liczby istnieje liczba przeciwna. Zbiory te wraz z dodawaniem są bowiem w szczególnym przypadkiem tzw. [[grupa (matematyka)|grup]] – a jeden z aksjomatów grupy wymaga istnienia elementu odwrotnego do każdego elementu zbioru.'''
Wówczas, jak łatwo sprawdzić:
* element przeciwny do dodatniego jest ujemny
* element przeciwny do ujemnego jest dodatni
 
'''W zbiorach liczb [[liczby naturalne|naturalnych]], oraz w [[klasa (matematyka)|klasach]] [[liczby kardynalne|liczb kardynalnych]] i [[liczby porządkowe|porządkowych]] nie jest to już prawda – liczby ujemne nie należą do zbioru liczb naturalnych, a dla nieskończonych liczb kardynalnych i porządkowych liczby przeciwne w ogóle nie są zdefiniowane, o ile nie wprowadzimy ich sztucznie, np. tak jak w [[liczby nadrzeczywiste|liczbach nadrzeczywistych]].'''
Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem [[arytmetyka modulo|modulo]] n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.
 
== '''Uogólnienie na grupy uporządkowane''' ==
== Zobacz też ==
'''Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] jest to pojęcie [[element odwrotny|elementu odwrotnego]] do danego wyrażone w terminologii addytywnej.'''
* [[arytmetyka]]
* [[liczba odwrotna]]
* [[liczba]]
 
'''Jeżeli w [[grupa (matematyka)|grupie]] jest określony [[porządek liniowy]] <math>\leqslant</math> spełniający'''
== Przypisy ==
 
{{Przypisy}}
:'''<math>a \leqslant b \implies (a + c \leqslant b + c \and c + a \leqslant c + b)</math>'''
 
'''to'''
 
* '''elementy dladeeeeela których <math>a \leqslant 0</math>, nazywamy niedodatnimi'''
* '''elementy dla których <math>0 \leqslant a</math>, nazywamy nieujemnymi'''
* '''elementy niedodatnie niezerowe nazywamy ujemnymi'''
* '''elementy nieujemne niezerowe nazywamy dodatnimi'''
 
'''Takimi grupami są wspomniane wyżej grupy liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych (ale nie zespolonych).'''
 
'''Wówczas, jak łatwo sprawdzić:'''
 
* '''element przeciwny do dodatniego jest ujemny'''
* '''element przeciwny do ujemnego jest dodatni'''
 
'''Warto wspomnieć jeszcze, że np. grupach z dodawaniem [[arytmetyka modulo|modulo]] n gdzie n jest parzyste istnieją elementy niezerowe, które są przeciwne do samych siebie.siebi'''{{Przypisy}}
 
[[Kategoria:Arytmetyka]]
Anonimowy użytkownik