Szereg harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy |
źródła/przypisy |
||
Linia 1:
{{Inne znaczenia|matematyki|[[szereg harmoniczny (muzyka)|artykuł dotyczący muzyki]]}}
'''Szereg harmoniczny''' – [[szereg (matematyka)|szereg]] liczbowy postaci:
: <math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots</math><ref name=ES>{{Cytuj | tytuł=Matematyka | seria=Encyklopedia Szkolna | miejsce=Warszawa | data=1990 | wydawca=Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne | s=277 | isbn=83-02-02551-8}}</ref>
{{fakt|Jego nazwa pochodzi od długości fal kolejnych [[Harmoniczna|alikwotów]] drgającej struny, które są proporcjonalne do 1, ½, ⅓, ¼, ….}} Każdy wyraz szeregu, od drugiego włącznie, jest [[średnia harmoniczna|średnią harmoniczną]] dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących<ref name=ES />.
== Rozbieżność szeregu harmonicznego ==
Linia 50:
== Szeregi harmoniczne wyższych rzędów ==
'''Szeregiem harmonicznym rzędu α''' nazywa się szereg postaci:
: <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\frac{1}{4^{\alpha}}+\dots</math><ref name=ES />
Szereg ten jest [[zbieżność|zbieżny]] dla <math>\alpha > 1</math>{{odn|Fichtenholz|1966|s=227}} i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuści się, by α przyjmowało wartości [[liczby zespolone|zespolone]] i każdej liczbie α, dla której szereg jest zbieżny, przypisze się jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazwę funkcji '''[[Funkcja dzeta Riemanna|dzeta]]''' ς [[Bernhard Riemann|Riemanna]]:
| |||