Funkcja Mertensa: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
Usunięta treść Dodana treść
m ort., lit.
Linia 1:
{{Funkcje matematyczne}}
[[Plik:Mertens function.svg|mały|Wykres funkcji Mertensa dla argumentów od 1 do 10000.]]
'''Funkcja Mertensa''' - w [[Teoria liczb|teorii liczb]] funkcja zdefiniowana przez:
: <math>M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k),</math>
 
gdzie μ(k) jest [[funkcja Möbiusa|funkcją Möbiusa]]<ref>{{MathWorld|tytuł=Mertens Function|autor=Eric W. Weisstein}}</ref><ref name=":0">{{Cytuj |autor=Tadej Kotnik, Jan van de Lune |tytuł=On the Order of the Mertens Function |czasopismo=Experimental Mathematics |data=2004 |data dostępu=2017-11-10 |issn=1058-6458 |wolumin=13 |numer=4 |s=473–481 |url=https://projecteuclid.org/euclid.em/1109106439}}</ref><ref name=":1" />.
: <math>M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)</math>
 
Dla każdej liczby naturalnej ''k'' zachodzi <math>\mu(k)\le 1,</math>, zatem <math>M(n) \le n</math><ref name=":0" />.
gdzie μ(k) jest [[funkcja Möbiusa|funkcją Möbiusa]]<ref>{{MathWorld|tytuł=Mertens Function|autor=Eric W. Weisstein}}</ref><ref name=":0">{{Cytuj |autor=Tadej Kotnik, Jan van de Lune |tytuł=On the Order of the Mertens Function |czasopismo=Experimental Mathematics |data=2004 |data dostępu=2017-11-10 |issn=1058-6458 |wolumin=13 |numer=4 |s=473–481 |url=https://projecteuclid.org/euclid.em/1109106439}}</ref><ref name=":1"/>.
 
Dla każdej liczby naturalnej ''k'' zachodzi <math>\mu(k)\le 1</math>, zatem <math>M(n) \le n</math><ref name=":0" />.
 
== Przypuszczenie Mertensa ==
Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, jako, że dla każdego n
: <math>\left| M(n) \right| < \sqrt { n }</math><ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref name=":1" />.
 
Linia 16 ⟶ 15:
: <math>M(n) = O(n^{\frac{1}{2}+\epsilon})</math><ref name=":0" />.
 
Gdyby funkcja Möbiusa została zastała zastąpiona losowym ciągiem +1 i -1–1, to powyższa własność wynikałaby z [[Prawo iterowanego logarytmu|prawa iterowanego logarytmu]].
 
Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik [[Funkcja π|funkcji pi]] można by przybliżyć wzorem:
 
<math>\int\limits_{0}limits_0^{x} \frac{du}{ln(u)}+O(x^\theta ln(x)),</math>, gdzie theta oznacza półpłaszczyznę <math>\mathfrak{R}(s)>\theta,</math>, gdzie s to argument [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcji dzeta Riemanna]]<ref name=":0" />.
 
== Wzory ==
* Związek pomiędzy [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcją dzeta Riemanna]] a funkcją Mertensa wynika ze wzoru
: <math>\frac{1}{\zeta (s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu (n)}{n^s}.</math>.
* <math>M(n) = \sum_{a \in \mathcal{F}_n} e^{2 \pi i a},</math> , gdzie <math>\mathcal{F}_n</math> oznacza <math>n</math>-ty [[ciąg Fareya]].
* M(n) to [[wyznacznik]] <math>n</math>-tej macierzy Redheffera, w której <math>a_{ij}=1,</math>, gdy ''j=1''=1 lub ''i'' dzieli ''j'', a pozostałe wyrazy są zerowe.
 
== Obliczanie wartości funkcji<ref name=":1">{{Cytuj |autor=Greg Hurst |tytuł=Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture |czasopismo=arXiv:1610.08551 [math] |data=2016-10-26 |data dostępu=2017-11-10 |arxiv=1610.08551}}</ref> ==
{| cellpaddingclass="5" border="1wikitable"
|Osoba
|Rok
Linia 40 ⟶ 39:
|von Sterneck
|1897
|1.,5{{e|5}}
|- style="vertical-align:bottom;"
|von Sterneck
Linia 54 ⟶ 53:
|10<sup>8</sup>
|- style="vertical-align:bottom;"
|Cohen, Dress
|1979
|7.8{{e|9}}
Linia 62 ⟶ 61:
|10<sup>12</sup>
|- style="vertical-align:bottom;"
|Lioen, van de Lune
|1994
|10<sup>13</sup>
|- style="vertical-align:bottom;"
|Kotnik, van de Lune
|2003
|10<sup>14</sup>
Linia 79 ⟶ 78:
 
== Bibliografia ==
* Pintz, J., "''An Effective Disproof of the Mertens Conjecture." '''Astérique''', 147-148„Astérique” 1987, s. 147–148, 325-333 i, 346, 1987. (fr)
 
[[Kategoria:Teoria liczb]]